三角形ABCの辺AB, BC, CAの中点の座標がそれぞれ(0, 2), (2, -2), (3, 1)であるとき、3つの頂点A, B, Cの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺AB, BC, CAの中点の座標がそれぞれ(0, 2), (2, -2), (3, 1)であるとき、3つの頂点A, B, Cの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

Aの座標を$(x_A, y_A)$、Bの座標を$(x_B, y_B)$、Cの座標を$(x_C, y_C)$とします。

辺ABの中点の座標は$\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$であり、これが(0, 2)に等しいので、

$\frac{x_A+x_B}{2} = 0$

$\frac{y_A+y_B}{2} = 2$

となります。これらから

$x_A+x_B = 0$ (1)

$y_A+y_B = 4$ (2)

が得られます。

同様に、辺BCの中点の座標は$\left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right)$であり、これが(2, -2)に等しいので、

$\frac{x_B+x_C}{2} = 2$

$\frac{y_B+y_C}{2} = -2$

となります。これらから

$x_B+x_C = 4$ (3)

$y_B+y_C = -4$ (4)

が得られます。

また、辺CAの中点の座標は$\left(\frac{x_C+x_A}{2}, \frac{y_C+y_A}{2}\right)$であり、これが(3, 1)に等しいので、

$\frac{x_C+x_A}{2} = 3$

$\frac{y_C+y_A}{2} = 1$

となります。これらから

$x_C+x_A = 6$ (5)

$y_C+y_A = 2$ (6)

が得られます。

(1), (3), (5)の式を足し合わせると

$2(x_A+x_B+x_C) = 0 + 4 + 6 = 10$

$x_A+x_B+x_C = 5$

これと(3)の式から

$x_A = (x_A+x_B+x_C) - (x_B+x_C) = 5 - 4 = 1$

(1)の式から $x_B = -x_A = -1$

(5)の式から $x_C = 6 - x_A = 6 - 1 = 5$

同様に、(2), (4), (6)の式を足し合わせると

$2(y_A+y_B+y_C) = 4 - 4 + 2 = 2$

$y_A+y_B+y_C = 1$

これと(4)の式から

$y_A = (y_A+y_B+y_C) - (y_B+y_C) = 1 - (-4) = 5$

(2)の式から $y_B = 4 - y_A = 4 - 5 = -1$

(6)の式から $y_C = 2 - y_A = 2 - 5 = -3$

したがって、A(1, 5), B(-1, -1), C(5, -3)となります。

3. 最終的な答え

A(1, 5), B(-1, -1), C(5, -3)