直角三角形ABCがあり、点Pが点Aを出発し、辺ABを通って点Bへ、さらに辺BCを通って点Cまで、毎秒1cmの速さで移動する。点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APCの面積をy cm²とする。以下の問いに答える。 (1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求める。 (2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。 (3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域を求める。また、このときCPの長さをxの式で表し、yをxの式で表す。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、点Pが点Aを出発し、辺ABを通って点Bへ、さらに辺BCを通って点Cまで、毎秒1cmの速さで移動する。点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APCの面積をy cm²とする。以下の問いに答える。

(1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求める。

(2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。

(3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域を求める。また、このときCPの長さをxの式で表し、yをxの式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後なので、AP = 3cm。

三角形APCの面積は、底辺AP、高さBCとなる。

BC = 4cmなので、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、AP = xである。

AB = 10cmであり、点PがBに到着するのは10秒後。

三角形APCの面積は、底辺AP、高さBCとなる。

BC = 4cmなので、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times BC = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

よってグラフは、xが0から10まで増加するとき、yも0から20まで増加する直線になる。選択肢3が該当する。

(3) 点PがBに到着するのが10秒後。BC = 4cmなので、点PがCに到着するのは14秒後。

よって、xの変域は$10 \leq x \leq 14$

次にCPの長さを求める。

$CP = BC - BP = 4 - (x-10) = 14 - x$

三角形APCの面積は、底辺CP、高さABとなる。

$AB = 10cm$なので、

$y = \frac{1}{2} \times CP \times AB = \frac{1}{2} \times (14 - x) \times 10 = 5(14 - x) = 70 - 5x = -5x + 70$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 3

(3) $10 \leq x \leq 14$

$CP = (14 - x)cm$

$y = -5x + 70$