(1) 点Qが放物線 $y = x^2$ 上を動くとき、点A(2, -2)と点Qを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めます。 (2) 点Qが円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動くとき、点A(4, 2)に関して点Qと対称な点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

(1) 点Qが放物線 $y = x^2$ 上を動くとき、点A(2, -2)と点Qを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めます。

(2) 点Qが円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動くとき、点A(4, 2)に関して点Qと対称な点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Qの座標を $(s, s^2)$ とおき、点Pの座標を $(x, y)$ とおきます。

線分AQを1:2に内分する点Pの座標は、内分公式より、

$x = \frac{2 + s}{3}$,

$y = \frac{-2 + s^2}{3}$

となります。

これらをsについて解くと、

$s = 3x - 2$,

$s^2 = 3y + 2$

となります。

$s^2 = (3x - 2)^2$であるので、

$(3x - 2)^2 = 3y + 2$

$9x^2 - 12x + 4 = 3y + 2$

$3y = 9x^2 - 12x + 2$

$y = 3x^2 - 4x + \frac{2}{3}$

(2)

点Qの座標を $(s, t)$ とおき、点Pの座標を $(x, y)$ とおきます。

点A(4, 2)は線分PQの中点なので、中点公式より、

$4 = \frac{x + s}{2}$,

$2 = \frac{y + t}{2}$

となります。

これらをs, tについて解くと、

$s = 8 - x$,

$t = 4 - y$

となります。

点Qは円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点なので、$s^2 + t^2 = 4$を満たします。

よって、

$(8 - x)^2 + (4 - y)^2 = 4$

$(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 - 4x + \frac{2}{3}$

(2) $(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = 4$