座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 = 2$ と点 $A(2, 1)$ がある。 (1) 点 $A$ を通り、円 $C$ に接する直線の方程式を求めよ。 (2) 点 $A$ を通る直線が円 $C$ と異なる2点 $P$ と $Q$ で交わり、$PQ$ の長さが2であるとき、直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 = 2$ と点 $A(2, 1)$ がある。

(1) 点 $A$ を通り、円 $C$ に接する直線の方程式を求めよ。

(2) 点 $A$ を通る直線が円 $C$ と異なる2点 $P$ と $Q$ で交わり、$PQ$ の長さが2であるとき、直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $A(2, 1)$ を通る直線の方程式を $y - 1 = m(x - 2)$、すなわち $mx - y - 2m + 1 = 0$ とする。

円 $x^2 + y^2 = 2$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $\sqrt{2}$ である。

直線が円に接するためには、円の中心から直線までの距離が半径に等しい必要がある。したがって、

$$\frac{|m \cdot 0 - 0 - 2m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$$

$$\frac{|-2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$$

両辺を2乗して、

$$(-2m + 1)^2 = 2(m^2 + 1)$$

$$4m^2 - 4m + 1 = 2m^2 + 2$$

$$2m^2 - 4m - 1 = 0$$

$$m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$$

したがって、直線の方程式は

$y - 1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}(x - 2)$ または $y - 1 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}(x - 2)$

$y = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}x - (2 + \sqrt{6}) + 1$ または $y = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}x - (2 - \sqrt{6}) + 1$

$y = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}x - 1 - \sqrt{6}$ または $y = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}x - 1 + \sqrt{6}$

$(2+\sqrt{6})x - 2y - 2 - 2\sqrt{6} = 0$ または $(2-\sqrt{6})x - 2y - 2 + 2\sqrt{6} = 0$

(2)

点 $A(2, 1)$ を通る直線の方程式を $y - 1 = m(x - 2)$、すなわち $y = mx - 2m + 1$ とする。

円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = mx - 2m + 1$ の交点の $x$ 座標は、

$x^2 + (mx - 2m + 1)^2 = 2$

$x^2 + m^2x^2 - 2m(2m-1)x + (2m-1)^2 = 2$

$(1 + m^2)x^2 - 2m(2m-1)x + 4m^2 - 4m + 1 = 2$

$(1 + m^2)x^2 - 2m(2m-1)x + 4m^2 - 4m - 1 = 0$

この2つの解を $x_1, x_2$ とする。解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = \frac{2m(2m - 1)}{1 + m^2}$, $x_1 x_2 = \frac{4m^2 - 4m - 1}{1 + m^2}$

$y_1 = mx_1 - 2m + 1, y_2 = mx_2 - 2m + 1$

$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 2$

$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 4$

$(x_2 - x_1)^2 + (mx_2 - 2m + 1 - mx_1 + 2m - 1)^2 = 4$

$(x_2 - x_1)^2 + m^2(x_2 - x_1)^2 = 4$

$(1 + m^2)(x_2 - x_1)^2 = 4$

$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \frac{4m^2(2m - 1)^2}{(1 + m^2)^2} - 4\frac{4m^2 - 4m - 1}{1 + m^2} = \frac{4}{1 + m^2}$

$4m^2(4m^2 - 4m + 1) - 4(4m^2 - 4m - 1)(1 + m^2) = 4(1 + m^2)$

$4m^2(4m^2 - 4m + 1) - 4(4m^2 - 4m - 1 + 4m^4 - 4m^3 - m^2) = 4 + 4m^2$

$16m^4 - 16m^3 + 4m^2 - 4(4m^4 - 4m^3 + 3m^2 - 4m - 1) = 4 + 4m^2$

$16m^4 - 16m^3 + 4m^2 - 16m^4 + 16m^3 - 12m^2 + 16m + 4 = 4 + 4m^2$

$-12m^2 + 16m + 4 + 4m^2 - 4 - 4m^2 = 0$

$-12m^2 + 16m = 0$

$4m(-3m + 4) = 0$

$m = 0$ または $m = \frac{4}{3}$

$m = 0$ のとき、 $y = 1$

$m = \frac{4}{3}$ のとき、 $y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 1 = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$

$4x - 3y - 5 = 0$

$y=1$を円の式に代入すると $x^2+1=2$ より $x = \pm 1$ となり、線分PQの長さは2。

$4x - 3y - 5 = 0$を円の式に代入すると、

$x^2 + (\frac{4x-5}{3})^2 = 2$

$9x^2 + 16x^2 - 40x + 25 = 18$

$25x^2 - 40x + 7 = 0$

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 700}}{50} = \frac{40 \pm \sqrt{900}}{50} = \frac{40 \pm 30}{50} = \frac{4 \pm 3}{5}$

$x = \frac{7}{5}$ または $x = \frac{1}{5}$

$PQ = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (\frac{24}{15})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{576}{225}} = \sqrt{\frac{324 + 576}{225}} = \sqrt{\frac{900}{225}} = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $(2+\sqrt{6})x - 2y - 2 - 2\sqrt{6} = 0$, $(2-\sqrt{6})x - 2y - 2 + 2\sqrt{6} = 0$

(2) $y = 1$, $4x - 3y - 5 = 0$