2点 $A(8,0)$ と $B(0,-2)$ が与えられています。 (1) 直線ABの傾きを求めます。 (2) 線分ABの中点Mの座標を求めます。 (3) 線分ABの垂直二等分線 $l$ の方程式を $ax + by + c = 0$ の形で求めます。

## 問題33

1. 問題の内容

2点 $A(8,0)$ と $B(0,-2)$ が与えられています。

(1) 直線ABの傾きを求めます。

(2) 線分ABの中点Mの座標を求めます。

(3) 線分ABの垂直二等分線 $l$ の方程式を $ax + by + c = 0$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

(1) 傾きは、$(y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$ で計算できます。

$A(8,0)$、$B(0,-2)$ を用いて計算します。

(2) 中点Mの座標は、$((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)$ で計算できます。

$A(8,0)$、$B(0,-2)$ を用いて計算します。

(3) 垂直二等分線は、線分の中点を通り、線分に垂直な直線です。

まず、線分ABの傾きを求めます(上記(1)で求めた値)。

次に、垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数にマイナスをつけたものです。

中点Mの座標（上記(2)で求めた値）と、垂直な直線の傾きを使って、直線の方程式を求めます。

最後に、得られた方程式を$ax + by + c = 0$ の形に変形します。

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの傾き:

$(-2 - 0) / (0 - 8) = -2 / -8 = 1/4$

(2) 線分ABの中点Mの座標:

$((8 + 0)/2, (0 + (-2))/2) = (4, -1)$

(3) 線分ABの垂直二等分線 $l$ の方程式:

線分ABの傾きは$1/4$なので、垂直な直線の傾きは $-4$です。

中点M(4,-1)を通り、傾きが-4の直線の方程式は、

$y - (-1) = -4(x - 4)$

$y + 1 = -4x + 16$

$4x + y - 15 = 0$

## 問題34

1. 問題の内容

直線 $x + y + 1 = 0$ を $l$ とします。直線 $l$ に関して点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

点A(3,2)と点Bの座標を(x,y)とする。線分ABの中点をMとする。

Mは直線l上にあるので、$x+y+1=0$を満たす。

線分ABと直線lは垂直に交わるので、線分ABの傾きと直線lの傾きの積は-1となる。

直線lの方程式を変形すると、$y=-x-1$となるので、直線lの傾きは-1である。

線分ABの傾きは、$(y-2)/(x-3)$となる。

よって、$(y-2)/(x-3)*(-1)=-1$

$(y-2)/(x-3)=1$

$y-2=x-3$

$y=x-1$

中点Mの座標は$((x+3)/2, (y+2)/2)$

Mは直線l上にあるので、

$(x+3)/2 + (y+2)/2 + 1 = 0$

$x+3 + y+2 +2 = 0$

$x+y+7 = 0$

$y = x - 1$を代入すると、

$x + (x - 1) + 7 = 0$

$2x + 6 = 0$

$x = -3$

$y = -3 - 1 = -4$

点Bの座標は$(-3, -4)$

3. 最終的な答え

点Bの座標: $(-3, -4)$

## 問題35

1. 問題の内容

(1) 点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の距離を求めます。

(2) 点 $(3, -1)$ と直線 $y = 2x + 13$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で計算できます。

$d = |ax_0 + by_0 + c| / \sqrt{a^2 + b^2}$

(1)

点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の場合:

$x_0 = -2$, $y_0 = 3$, $a = 3$, $b = 4$, $c = 9$ を公式に代入します。

(2)

点 $(3, -1)$ と直線 $y = 2x + 13$ の場合:

まず、直線の方程式を $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$2x - y + 13 = 0$

$x_0 = 3$, $y_0 = -1$, $a = 2$, $b = -1$, $c = 13$ を公式に代入します。

3. 最終的な答え

(1) 点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の距離:

$d = |3(-2) + 4(3) + 9| / \sqrt{3^2 + 4^2} = |-6 + 12 + 9| / \sqrt{9 + 16} = |15| / \sqrt{25} = 15 / 5 = 3$

(2) 点 $(3, -1)$ と直線 $y = 2x + 13$ の距離:

$d = |2(3) + (-1)(-1) + 13| / \sqrt{2^2 + (-1)^2} = |6 + 1 + 13| / \sqrt{4 + 1} = |20| / \sqrt{5} = 20 / \sqrt{5} = 20\sqrt{5} / 5 = 4\sqrt{5}$