三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを3:1に内分する点をEとする。線分CDの中点をFとするとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを3:1に内分する点をEとする。線分CDの中点をFとするとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$とする。

点Dは辺ABを1:2に内分するので、

$\vec{d} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{1+2} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$

点Eは辺BCを3:1に内分するので、

$\vec{e} = \frac{\vec{b}+3\vec{c}}{3+1} = \frac{\vec{b}+3\vec{c}}{4}$

点Fは線分CDの中点なので、

$\vec{f} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} = \frac{\vec{c}+\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}}{2} = \frac{3\vec{c}+2\vec{a}+\vec{b}}{6} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}}{6}$

ここで、$\vec{AF} = k\vec{AE}$となる実数kが存在することを示せば、3点A,F,Eが一直線上にあることが証明される。

$\vec{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}}{6} - \vec{a} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}-6\vec{a}}{6} = \frac{-4\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}}{6}$

$\vec{AE} = \vec{e} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+3\vec{c}}{4} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+3\vec{c}-4\vec{a}}{4} = \frac{-4\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}}{4}$

したがって、

$\vec{AF} = \frac{1}{6}(-4\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}) = \frac{4}{6} \frac{1}{4}(-4\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}) = \frac{2}{3}\vec{AE}$

よって、$\vec{AF} = \frac{2}{3}\vec{AE}$ となるので、点A, F, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点A, F, Eは一直線上にある（証明終わり）。