2つの円 $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と $C_2: (x-5)^2 + (y-3)^2 = 1$ の共通接線の方程式をすべて求める。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と $C_2: (x-5)^2 + (y-3)^2 = 1$ の共通接線の方程式をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 共通接線の傾きを $m$ 、y切片を $n$ とすると、共通接線の方程式は $y = mx + n$ と表せる。すなわち、$mx - y + n = 0$ である。

(2) 円 $C_1$ の中心 $(1, 1)$ と直線 $mx - y + n = 0$ の距離は円の半径 1 に等しいから、

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\frac{|m(1) - 1 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1

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|m - 1 + n| = \sqrt{m^2 + 1} \qquad (1)

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(3) 円 $C_2$ の中心 $(5, 3)$ と直線 $mx - y + n = 0$ の距離も円の半径 1 に等しいから、

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\frac{|5m - 3 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1

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|5m - 3 + n| = \sqrt{m^2 + 1} \qquad (2)

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(4) 式(1)と(2)より、

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|m - 1 + n| = |5m - 3 + n|

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2つの場合が考えられる。

(a) $m - 1 + n = 5m - 3 + n$ のとき、

$4m = 2$ より $m = \frac{1}{2}$。

(b) $m - 1 + n = - (5m - 3 + n)$ のとき、

$6m + 2n = 4$ より $3m + n = 2$。つまり、$n = 2 - 3m$。

(5) (a) $m = \frac{1}{2}$ のとき、式(1)に代入すると、

$|\frac{1}{2} - 1 + n| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1}$

$|n - \frac{1}{2}| = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$n - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$n = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

よって、$y = \frac{1}{2} x + \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x - 2y + 1 \pm \sqrt{5} = 0$

(6) (b) $n = 2 - 3m$ のとき、式(1)に代入すると、

$|m - 1 + 2 - 3m| = \sqrt{m^2 + 1}$

$|-2m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、$(1 - 2m)^2 = m^2 + 1$

$1 - 4m + 4m^2 = m^2 + 1$

$3m^2 - 4m = 0$

$m(3m - 4) = 0$

よって、$m = 0$ または $m = \frac{4}{3}$。

(7) $m = 0$ のとき、$n = 2 - 3(0) = 2$。よって、$y = 2$

(8) $m = \frac{4}{3}$ のとき、$n = 2 - 3(\frac{4}{3}) = 2 - 4 = -2$。よって、$y = \frac{4}{3} x - 2$、つまり $4x - 3y - 6 = 0$

3. 最終的な答え

$x - 2y + 1 + \sqrt{5} = 0$

$x - 2y + 1 - \sqrt{5} = 0$

$y = 2$

$4x - 3y - 6 = 0$