原点をOとする座標平面上に楕円$C: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$がある。 (1) 楕円Cの二つの焦点F, F'の座標と、楕円上の点Pに関する$PF + PF'$の値を求める。 (2) 点PはC上の第1象限の部分を動くとし、x軸に関して点Pと対称な点をQとする。このとき、三角形OPQの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に楕円$C: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$がある。

(1) 楕円Cの二つの焦点F, F'の座標と、楕円上の点Pに関する$PF + PF'$の値を求める。

(2) 点PはC上の第1象限の部分を動くとし、x軸に関して点Pと対称な点をQとする。このとき、三角形OPQの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 楕円$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし$a > b > 0$)の焦点の座標は$(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$で与えられる。この楕円の場合、$a^2 = 25$、$b^2 = 9$なので、$a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$。したがって、焦点の座標は$(\pm \sqrt{16}, 0) = (\pm 4, 0)$。

$PF + PF' = 2a$が成り立つので、$PF + PF' = 2 \times 5 = 10$。

(2) 点Pの座標を$(x, y)$とすると、点Qの座標は$(x, -y)$となる。三角形OPQの面積は、$S = \frac{1}{2} \times x \times (y - (-y)) = \frac{1}{2} \times x \times 2y = xy$。

したがって、三角形OPQの面積$S = xy$を最大化することを考える。

楕円の式から、$y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{25}) = \frac{9}{25}(25 - x^2)$。

$y > 0$より、$y = \frac{3}{5}\sqrt{25 - x^2}$。

よって、$S = x \times \frac{3}{5}\sqrt{25 - x^2} = \frac{3}{5}x\sqrt{25 - x^2}$。

$S^2 = \frac{9}{25}x^2(25 - x^2) = \frac{9}{25}(25x^2 - x^4)$。

$t = x^2$とおくと、$S^2 = \frac{9}{25}(25t - t^2)$。

$f(t) = 25t - t^2$とすると、$f'(t) = 25 - 2t$。

$f'(t) = 0$のとき、$t = \frac{25}{2}$。

$x^2 = \frac{25}{2}$のとき、$x = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$。

このとき、$y = \frac{3}{5}\sqrt{25 - \frac{25}{2}} = \frac{3}{5}\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

したがって、$S = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{15 \times 2}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) F(4, 0), F'(-4, 0), PF+PF' = 10

(2) 三角形OPQの面積の最大値は 15/2