平面上に2点 P($a\cos\theta, a\sin\theta$) と Q($4\cos^3\theta, 4\sin^3\theta$) がある。aは$\theta$に無関係な定数であるとき、線分PQの長さが$\theta$に関係なく一定になるようにaの値を定めよ。

1. 問題の内容

平面上に2点 P($a\cos\theta, a\sin\theta$) と Q($4\cos^3\theta, 4\sin^3\theta$) がある。aは$\theta$に無関係な定数であるとき、線分PQの長さが$\theta$に関係なく一定になるようにaの値を定めよ。

2. 解き方の手順

線分PQの長さを$PQ$とする。点Pと点Qの座標を用いて$PQ^2$を計算する。

$PQ^2 = (4\cos^3\theta - a\cos\theta)^2 + (4\sin^3\theta - a\sin\theta)^2$

$PQ^2 = 16\cos^6\theta - 8a\cos^4\theta + a^2\cos^2\theta + 16\sin^6\theta - 8a\sin^4\theta + a^2\sin^2\theta$

$PQ^2 = 16(\cos^6\theta + \sin^6\theta) - 8a(\cos^4\theta + \sin^4\theta) + a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$なので、

$PQ^2 = 16(\cos^6\theta + \sin^6\theta) - 8a(\cos^4\theta + \sin^4\theta) + a^2$

$\cos^6\theta + \sin^6\theta = (\cos^2\theta)^3 + (\sin^2\theta)^3 = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^4\theta - \cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta)$

$= \cos^4\theta - \cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta = (\cos^4\theta + \sin^4\theta) - \cos^2\theta\sin^2\theta$

$\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta)^2 + (\sin^2\theta)^2 = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\cos^2\theta\sin^2\theta = 1 - 2\cos^2\theta\sin^2\theta$

$\cos^6\theta + \sin^6\theta = 1 - 2\cos^2\theta\sin^2\theta - \cos^2\theta\sin^2\theta = 1 - 3\cos^2\theta\sin^2\theta$

$PQ^2 = 16(1 - 3\cos^2\theta\sin^2\theta) - 8a(1 - 2\cos^2\theta\sin^2\theta) + a^2$

$PQ^2 = 16 - 48\cos^2\theta\sin^2\theta - 8a + 16a\cos^2\theta\sin^2\theta + a^2$

$PQ^2 = 16 - 8a + a^2 - 48\cos^2\theta\sin^2\theta + 16a\cos^2\theta\sin^2\theta$

$PQ^2 = 16 - 8a + a^2 + (16a - 48)\cos^2\theta\sin^2\theta$

$PQ^2$が$\theta$に無関係な定数になるには、$(16a - 48)\cos^2\theta\sin^2\theta = 0$が必要である。

$16a - 48 = 0$より、$16a = 48$となり、$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$