点A(-3, 1)、点B(1, -1) があり、点P(x, y) からA, B までの距離が等しい ($AP = BP$) という条件と、直線 $y = 2x + 2$ 上に点Pがあるという条件が与えられています。これらの条件から、点Pの座標を求めます。

1. 問題の内容

点A(-3, 1)、点B(1, -1) があり、点P(x, y) からA, B までの距離が等しい ($AP = BP$) という条件と、直線 $y = 2x + 2$ 上に点Pがあるという条件が与えられています。これらの条件から、点Pの座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$AP = BP$ より $AP^2 = BP^2$ が成り立ちます。距離の二乗の式を立てると、

$(x+3)^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$

となります。この式を展開して整理します。

$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$

$6x + 9 - 2y + 1 = -2x + 1 + 2y + 1$

$8x - 4y + 8 = 0$

$2x - y + 2 = 0$

次に、点Pが直線 $y = 2x + 2$ 上にあるので、これを上記の式に代入します。

$2x - (2x + 2) + 2 = 0$

$2x - 2x - 2 + 2 = 0$

$0 = 0$

この式は常に成り立つため、点Pは $AP = BP$ を満たす直線上にあり、かつ直線 $y = 2x + 2$ 上にあることを意味します。$AP=BP$を満たす点の軌跡は、線分ABの垂直二等分線であり、これは直線$2x - y + 2 = 0$、つまり$y=2x+2$となります。

したがって、点Pは線分ABの垂直二等分線であり、直線 $y = 2x + 2$ 上にある任意の点となります。

ただし、問題文には他に条件が書かれていないようなので、これで解答とします。

3. 最終的な答え

点Pは直線 $y = 2x + 2$ 上の任意の点。