三角形ABCにおいて、与えられた辺の長さと角の大きさから、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。 (1) $a=3$, $B=75^\circ$, $C=60^\circ$ (2) $a=\sqrt{2}$, $B=45^\circ$, $C=105^\circ$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた辺の長さと角の大きさから、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。

(1) $a=3$, $B=75^\circ$, $C=60^\circ$

(2) $a=\sqrt{2}$, $B=45^\circ$, $C=105^\circ$

2. 解き方の手順

(1)

まず、角Aを求めます。三角形の内角の和は180°なので、$A = 180^\circ - B - C$です。

次に、正弦定理を使って辺bとcを求めます。正弦定理は$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$です。

$A = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

$\frac{3}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 75^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ}$

$b = \frac{3 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3 (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3 (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$

$c = \frac{3 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

(2)

まず、角Aを求めます。三角形の内角の和は180°なので、$A = 180^\circ - B - C$です。

次に、正弦定理を使って辺bとcを求めます。正弦定理は$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$です。

$A = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ}$

$b = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2$

$c = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} = \frac{2\sqrt{3}+2}{2} = \sqrt{3}+1$

3. 最終的な答え

(1) $A = 45^\circ$, $b = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$, $c = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

(2) $A = 30^\circ$, $b = 2$, $c = \sqrt{3}+1$