正六角形について、以下の数を求める。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求める。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正六角形から3つの頂点を選ぶ組み合わせの数を求める。これは、6個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{6}C_{3}$で計算できる。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 正六角形から2つの頂点を選ぶ組み合わせの数を求める。これは、6個から2個を選ぶ組み合わせなので、$_{6}C_{2}$で計算できる。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 対角線の本数は、まず2つの頂点を選ぶ組み合わせ（(2)で計算した15）から、正六角形の辺の数（6）を引くことで求められる。

対角線の本数 = $_{6}C_{2} - 6 = 15 - 6 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 15本

(3) 9本