一辺の長さが1の正四面体ABCDと2点P, Qがあり、$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BQ} = 2\overrightarrow{BD}$を満たしている。 (1) $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$、$\overrightarrow{AD} = \vec{d}$として、$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$を用いて表す。 (2) 点Rが辺CD上を動くとき、三角形PQRの面積の最小値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDと2点P, Qがあり、$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BQ} = 2\overrightarrow{BD}$を満たしている。

(1) $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$、$\overrightarrow{AD} = \vec{d}$として、$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$を用いて表す。

(2) 点Rが辺CD上を動くとき、三角形PQRの面積の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PQ}$を求める。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ}$

$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AC}$より、$\overrightarrow{PA} = -2\overrightarrow{AC} = -2\vec{c}$

$\overrightarrow{BQ} = 2\overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

$\overrightarrow{BQ} = 2(\vec{d} - \vec{b}) = 2\vec{d} - 2\vec{b}$

したがって、

$\overrightarrow{PQ} = -2\vec{c} + \vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{b} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2) 点Rは辺CD上にあるので、ある実数$t$を用いて

$\overrightarrow{CR} = t\overrightarrow{CD}$と表せる。($0 \le t \le 1$)

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \vec{d} - \vec{c}$

$\overrightarrow{CR} = t(\vec{d} - \vec{c})$

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CR} = \vec{c} + t(\vec{d} - \vec{c}) = (1-t)\vec{c} + t\vec{d}$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AR} = -2\vec{c} + (1-t)\vec{c} + t\vec{d} = (-1-t)\vec{c} + t\vec{d}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{QA} + \overrightarrow{AR} = -\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AR}$

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ} = \vec{b} + 2(\vec{d} - \vec{b}) = -\vec{b} + 2\vec{d}$

$\overrightarrow{QA} = \vec{b} - 2\vec{d}$

$\overrightarrow{QR} = \vec{b} - 2\vec{d} + (1-t)\vec{c} + t\vec{d} = \vec{b} + (1-t)\vec{c} + (t-2)\vec{d}$

$\triangle PQR = \frac{1}{2} |\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{QR}|$

$\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{QR} = ((-1-t)\vec{c} + t\vec{d}) \times (\vec{b} + (1-t)\vec{c} + (t-2)\vec{d})$

$= (-1-t)\vec{c} \times \vec{b} + (-1-t)(t-2)\vec{c} \times \vec{d} + t\vec{d} \times \vec{b} + t(1-t)\vec{d} \times \vec{c}$

$= (1+t)\vec{b} \times \vec{c} + (-t^2 + t + 2)\vec{c} \times \vec{d} + t\vec{d} \times \vec{b} - t(1-t)\vec{c} \times \vec{d}$

$= (1+t)\vec{b} \times \vec{c} + (-t^2 + t + 2)\vec{c} \times \vec{d} + t\vec{b} \times \vec{d} + t^2 - t$

正四面体なので、$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$であり、$\|\vec{b}\| = \|\vec{c}\| = \|\vec{d}\| = 1$

$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{d}| = |\vec{d} \times \vec{b}| = \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\overrightarrow{PQ} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{PQ} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2) 最小値：$\frac{\sqrt{6}}{16}$