四面体OABCにおいて、辺OAを3:1に内分する点をD、辺OBを2:1に内分する点をE、辺ACを2:1に内分する点をFとする。3点D, E, Fが定める平面をαとし、平面αと辺BCとの交点をGとする。このとき、$\overrightarrow{OG}$を$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAを3:1に内分する点をD、辺OBを2:1に内分する点をE、辺ACを2:1に内分する点をFとする。3点D, E, Fが定める平面をαとし、平面αと辺BCとの交点をGとする。このとき、$\overrightarrow{OG}$を$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点D, E, Fの位置ベクトルを$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

点Dは辺OAを3:1に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$

点Eは辺OBを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

点Fは辺ACを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$

次に、点Gが平面DEF上にあることから、

$\overrightarrow{OG} = s\overrightarrow{OD} + t\overrightarrow{OE} + u\overrightarrow{OF}$ (ただし、$s+t+u=1$)

と表せる。

$\overrightarrow{OG} = s(\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}) + t(\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) + u(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OG} = (\frac{3}{4}s + \frac{1}{3}u)\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}t\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}u\overrightarrow{OC}$

点Gは辺BC上にあるので、$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OB} + k\overrightarrow{OC}$と表せる。

したがって、

$\frac{3}{4}s + \frac{1}{3}u = 0$

$\frac{2}{3}t = 1-k$

$\frac{2}{3}u = k$

$s+t+u=1$

$\frac{3}{4}s = -\frac{1}{3}u$より、$s = -\frac{4}{9}u$

$\frac{2}{3}t + \frac{2}{3}u = 1$より、$t = \frac{3}{2}-u$

$-\frac{4}{9}u + \frac{3}{2}-u + u = 1$

$-\frac{4}{9}u = -\frac{1}{2}$

$u = \frac{9}{8}$

$t = \frac{3}{2} - \frac{9}{8} = \frac{12-9}{8} = \frac{3}{8}$

$k = \frac{2}{3}u = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$

したがって、

$\overrightarrow{OG} = (1-\frac{3}{4})\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$