点 $P(x, y)$ が与えられており、$P$ の y 軸からの距離を $d_1$、$P$ と点 $(-1, 0)$ との距離を $d_2$ とします。$a d_1 = d_2$ が成り立つとき、以下の $a$ の値に対して、$P(x, y)$ の軌跡の焦点を求めます。 (1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $a = 1$ (3) $a = \sqrt{2}$ ただし、焦点の x 座標は小さい順に答える必要があります。

1. 問題の内容

点 $P(x, y)$ が与えられており、$P$ の y 軸からの距離を $d_1$、$P$ と点 $(-1, 0)$ との距離を $d_2$ とします。$a d_1 = d_2$ が成り立つとき、以下の $a$ の値に対して、$P(x, y)$ の軌跡の焦点を求めます。

(1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $a = 1$

(3) $a = \sqrt{2}$

ただし、焦点の x 座標は小さい順に答える必要があります。

2. 解き方の手順

$d_1 = |x|$ かつ $d_2 = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$ であることを用いて、$a d_1 = d_2$ を満たす $x, y$ の関係式を導き出します。

$a |x| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

両辺を 2 乗すると

$a^2 x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$a^2 x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$(a^2 - 1) x^2 - 2x - 1 = y^2$

(1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$(\frac{1}{2} - 1) x^2 - 2x - 1 = y^2$

$-\frac{1}{2} x^2 - 2x - 1 = y^2$

$-\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 2) = y^2$

$-\frac{1}{2}((x+2)^2 - 2) = y^2$

$-\frac{1}{2} (x+2)^2 + 1 = y^2$

$\frac{1}{2} (x+2)^2 + y^2 = 1$

これは楕円の式ではありません。$-\frac{1}{2}x^2 - 2x - 1 \geq 0$ である必要があるので、$x^2 + 4x + 2 \leq 0$. よって $-2 - \sqrt{2} \leq x \leq -2 + \sqrt{2}$.

$y^2 = 1 - \frac{(x+2)^2}{2}$.

これは楕円で、中心は $(-2, 0)$ であり、長軸は x 軸に平行。

$a^2 = 2$, $b^2 = 1$, $c^2 = a^2 - b^2 = 2 - 1 = 1$, $c = \pm 1$. よって焦点は $(-2 \pm 1, 0)$, すなわち $(-3, 0), (-1, 0)$. ただし、 $-2 - \sqrt{2} \leq x \leq -2 + \sqrt{2}$ という条件があるので、焦点の範囲内に両方とも含まれている。

したがって、焦点は $(-3, 0)$, $(-1, 0)$.

(2) $a = 1$ のとき

$(1^2 - 1) x^2 - 2x - 1 = y^2$

$-2x - 1 = y^2$

$2x = -y^2 - 1$

$x = -\frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2}$

これは放物線で焦点は$(-\frac{1}{2} + \frac{1}{4(1/2)}, -\frac{1}{2})=(0, 0)$

焦点は $(-\frac{1}{4}, 0)$

(3) $a = \sqrt{2}$ のとき

$((\sqrt{2})^2 - 1) x^2 - 2x - 1 = y^2$

$(2 - 1) x^2 - 2x - 1 = y^2$

$x^2 - 2x - 1 = y^2$

$(x-1)^2 - 2 = y^2$

$(x-1)^2 - y^2 = 2$

$\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$

これは双曲線。$a^2 = 2$, $b^2 = 2$, $c^2 = a^2 + b^2 = 4$, $c = \pm 2$. よって焦点は $(1 \pm 2, 0)$, すなわち $(3, 0), (-1, 0)$.

3. 最終的な答え

(1) (-3, 0), (-1, 0)

(2) (-1/4, 0)

(3) (-1, 0), (3, 0)