一辺の長さが5の正八面体ABCDEFの各面の重心を頂点とする立体について、(1)この立体の名称を答えよ。(2)この立体の体積を求めよ。

## 問題18

1. 問題の内容

一辺の長さが5の正八面体ABCDEFの各面の重心を頂点とする立体について、(1)この立体の名称を答えよ。(2)この立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正八面体の各面の重心を結んでできる立体は、正六面体（立方体）です。

(2) 正八面体の一辺の長さを $a$ とすると、正八面体の各面の重心を結んでできる立方体の一辺の長さは $\frac{a}{\sqrt{3}}$ となります。今回、$a=5$なので、立方体の一辺の長さは $\frac{5}{\sqrt{3}}$ です。

したがって、立方体の体積は $(\frac{5}{\sqrt{3}})^3 = \frac{125}{3\sqrt{3}} = \frac{125\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 正六面体（立方体）

(2) $\frac{125\sqrt{3}}{9}$

## 問題19

1. 問題の内容

すべての面が三角形である凸多面体がある。(1)この多面体の頂点の数を $v$、辺の数を $e$、面の数を $f$ とすると、$e=\frac{3}{2}f$、$v = \frac{1}{2}f + 2$ であることを証明せよ。(2)各頂点に集まる辺の数がすべて等しいときは何面体になるかを調べよ。

2. 解き方の手順

(1) オイラーの多面体定理より、$v - e + f = 2$ が成り立つ。また、各面は三角形なので、面の数は $f$、辺の数は $e$ とすると、 $3f = 2e$ が成り立つ。よって、$e=\frac{3}{2}f$。

これをオイラーの多面体定理に代入すると、$v - \frac{3}{2}f + f = 2$ より、$v = \frac{1}{2}f + 2$。

(2) 各頂点に集まる辺の数がすべて等しい場合を考える。頂点に集まる辺の数を $n$ とすると、$nv = 2e$ が成り立つ。また、$e = \frac{3}{2}f$、$v = \frac{1}{2}f + 2$ であるから、$n(\frac{1}{2}f + 2) = 2(\frac{3}{2}f)$ より、$n(\frac{1}{2}f + 2) = 3f$ となる。

これを $f$ について解くと、$f = \frac{4n}{6-n}$ となる。

ここで、$f$ は正の整数であるから、$n$ は 3, 4, 5 のいずれかである。

- $n = 3$ のとき、$f = 4$、$v = 4$、$e = 6$。これは正四面体。

- $n = 4$ のとき、$f = 8$、$v = 6$、$e = 12$。これは正八面体。

- $n = 5$ のとき、$f = 20$、$v = 12$、$e = 30$。これは正二十面体。

3. 最終的な答え

(1) 証明完了

(2) 正四面体、正八面体、正二十面体

## 問題20

1. 問題の内容

四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。条件: 頂点A, B, Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。

2. 解き方の手順

四面体OABCにおいて、Oから平面ABCへ下ろした垂線の足をHとする。Hが三角形ABCの重心であるとする。同様に、Aから平面OBCへ下ろした垂線の足も三角形OBCの重心、Bから平面OACへ下ろした垂線の足も三角形OACの重心、Cから平面OABへ下ろした垂線の足も三角形OABの重心であるとする。

ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。

条件より、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ かつ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$ が成り立つ。

四面体OABCの各辺の長さを計算すると、$OA = |\vec{a}|$, $OB = |\vec{b}|$, $OC = |\vec{c}|$, $AB = |\vec{b} - \vec{a}|$, $BC = |\vec{c} - \vec{b}|$, $CA = |\vec{a} - \vec{c}|$ となる。

$AB^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$

$BC^2 = (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2 \vec{b} \cdot \vec{c}$

$CA^2 = (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \vec{c} \cdot \vec{a}$

条件より、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ かつ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$ であるから、$AB = BC = CA$ となる。

また、$OA = OB = OC$ であるから、四面体OABCは正四面体である。

3. 最終的な答え

証明完了