三角形ABCにおいて、AD = DB, AE = EC, EF: FB = 3:2である。線分BCの長さが18cmのとき、線分DBの長さxを求めよ。ただし、点Gは線分BCと線分DFの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD = DB, AE = EC, EF: FB = 3:2である。線分BCの長さが18cmのとき、線分DBの長さxを求めよ。ただし、点Gは線分BCと線分DFの交点である。

2. 解き方の手順

まず、AD = DBかつAE = ECより、線分DEは線分BCと平行であり、その長さはBCの半分である。

$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 18 = 9$

次に、EF: FB = 3:2であるから、BF:BE = 2:(3+2) = 2:5である。

また、DEとBCは平行なので、三角形DBFと三角形ADEは相似である。

したがって、DF:DA = BF:BE = 2:5となる。

よって、DF = (2/5)DA。

ここで、DA=DB=xなので、DF = (2/5)xとなる。

三角形DBFと三角形ABCは相似である。

したがって、BG:BC = BF:BE = 2:5。

BG = (2/5)BC = (2/5) * 18 = 36/

5. また、BF:BE= 2:5から、FB = (2/5)BEである。

ところで、DEとBCは平行であるため、三角形DFBと三角形AFEも相似である。

相似比はFB:EF=2:3。

BF:BC = 2:5、BG = (2/5) * 18 = 36/5

GC = BC - BG = 18 - 36/5 = (90 - 36)/5 = 54/5。

線分DFと線分BCの交点をGとする。三角形BDFと三角形BACは相似である。相似比はDB:AB = x:(2x) = 1:2。

したがって、BG:GC = BF:FA となる。EF:FB=3:2より、FB = (2/5)EB。

BG:BC = DB:AB = x:2x = 1:2。BG = (1/2)BC = (1/2)*18 =

9. BG=9, BF/BE =2/

5. DE//BCより，三角形BDFと三角形ADEは相似である。

ゆえに、BD/DA = BF/FE = x/x = 1。したがって、FB/EF = 1 = 2/3となり矛盾する。

メネラウスの定理より、

BD/DA * AE/EC * CG/GB = 1

AD=DBより、BD/DA = 1

AE=ECより、AE/EC = 1

よって、CG/GB = 1 となり、CG = GB

BG + GC = BC = 18

BG = GC = 9

三角形DBFと三角形ABCにおいて、BF:BE= 2/5より、BF = (2/5)BE。

また、相似比より、DB/AB = 1/2であり、BG/BC = BG/

1

8. DB/AB = BG/BC = FG/AC より，DB/AB = BG/BC

x/2x = BG/18, 1/2 = BG/18, BG=

9. BG =

9. また， EF:FB = 3:

2.

3. 最終的な答え

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