三角形ABCにおいて、$AD = DB$, $AE = EC$, $DF:FG = 2:1$であるとき、$BC = 20cm$のとき、$HG = x$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AD = DB$, $AE = EC$, $DF:FG = 2:1$であるとき、$BC = 20cm$のとき、$HG = x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$AD = DB$、$AE = EC$なので、DEはBCの中点連結定理により、$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(20) = 10$となります。

また、DEとBCは平行です。

次に、DF:FG = 2:1であることから、$FG = \frac{1}{3}DG$となります。

DGはDEと平行なので、$\triangle DFG$と$\triangle CBG$は相似です。

したがって、$\frac{DG}{BC} = \frac{DF}{DB} = \frac{FG}{GC}$の関係が成り立ちます。

しかし、$DE = 10$なので、$DG = 10$です。

したがって、$FG = \frac{1}{3}DE = \frac{1}{3} \times 10 = \frac{10}{3}$となります。

$\frac{FG}{BC}$を考えると、$\frac{10/3}{20} = \frac{10}{3 \times 20} = \frac{1}{6}$となります。

次に、$FH = DH - DF$となる。

$DF = \frac{2}{3}DE = \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$

$\frac{FG}{BC} = \frac{1}{6}$は$\frac{FG}{CG} = \frac{1}{6}$となる。

よって、$\frac{FH}{BH}$も$\frac{1}{6}$となる。

$HG = BC \times (\frac{DF}{DE}) \times \frac{FG}{DE} \times \frac{FG}{20}$

$HG = \frac{1}{6}$となる。

$HG = x = BC \times \frac{DF}{DE} \times \frac{FH}{BE} = 20 \times \frac{10/3}{20/3} \times ?$

$\triangle DFG$と$\triangle CBG$は相似なので$\frac{DG}{BC} = \frac{FG}{GC}$となる。$\frac{DG}{BC}=\frac{1}{2}$なので、$\frac{FG}{GC}=\frac{1}{2}$

また$\triangle DFHと\triangle DBH$は相似ではない。

DEはBCの中点連結定理より、DE=10。またDEとBCは平行。

DF:FG=2:1より、DG = 3FG

$\triangle DFG \sim \triangle CBG$ よってDG/BC = FG/BG

DG = DE = 10。よって、10/20 = 1/2 = FG/BG

よって、BG=2FG

FG/BC = 1/2

FG = BC/2 = 20/2 = 10/3

DGとBCが平行なので、FG:GC=DF:FB

DHとGCは平行なので、FH:HC=DF:DC

FH:GC = 2：1なのでFH=2GC

また$\triangle FDH\sim \triangle FBG$なので,FD：DB= FH：HB

三角形ADEとABCは相似であり、相似比は1：2なので、DE=10cm

$\triangle DFGと\triangle CBGが相似なので、\frac{DF}{DB}=\frac{FG}{BG}=\frac{DG}{BC}= \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

したがってBG = 2FG、DF = 1/2DBより DF= DG $\frac{2}{3}$

$\frac{FH}{HC}=\frac{DG-FH}{BC-HG}$

$DE = \frac{1}{2}BC$なので、DE = 10

$\frac{FG}{DG}= \frac{1}{3}$なので、$FG = \frac{1}{3}DE = \frac{10}{3}$

FG:BC = $\frac{FG}{BC}$

$\frac{HG}{BC}=\frac{1}{6}$

$\triangle FDH$と$\triangle CBG$は相似であるため

$x = \frac{1}{3} \times 10 = \frac{2}{3}$

HG = 5/3 = 1.6666667

3. 最終的な答え

x = 5