三角形ABCにおいて、AD = DB、AE = EC、DF : FG = 2 : 1である。線分BCの長さを20cm、線分BHの長さをx cmとしたとき、xの値を求める問題である。ただし、点Hは線分BFの延長線と線分BCとの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD = DB、AE = EC、DF : FG = 2 : 1である。線分BCの長さを20cm、線分BHの長さをx cmとしたとき、xの値を求める問題である。ただし、点Hは線分BFの延長線と線分BCとの交点である。

2. 解き方の手順

まず、AD = DB、AE = ECより、線分DEは線分BCと平行であり、DE = (1/2)BCである。

次に、DF : FG = 2 : 1より、DF : DG = 2 : 3である。

三角形ADGと三角形ABHは相似であるので、AD : AB = DG : BHが成り立つ。

AD : AB = 1 : 2であるので、DG : BH = 1 : 2となる。

DG = (3/2)DFであるから、(3/2)DF : BH = 1 : 2となる。

したがって、BH = 3DFである。

一方、三角形DFHと三角形BGCは相似であるので、DF : BG = DH : BCが成り立つ。

ここで、DH = DF + FHであり、BG = BC - GCである。また、BG=BC-xとなる。

線分FHはBCと平行なDEの延長線上にあるから、FH : GC = DF : BGが成り立つ。

よって、DH:BC=DF:BGより、DF/DG=BH/BCとなる。

つまりDF/(3/2)DF=x/20

変形すると、2/3=x/20

3x=40

x=40/3

3. 最終的な答え

x = 40/3