三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=EC、EF:FB=2:1である。CG=26cmのとき、BG=xcmのxの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=EC、EF:FB=2:1である。CG=26cmのとき、BG=xcmのxの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形ABGと直線CEについて適用する。

メネラウスの定理より、

$\frac{AE}{EC} \times \frac{CG}{GB} \times \frac{BD}{DA} = 1$

与えられた条件より、

$AD = DB$なので、$\frac{BD}{DA} = 1$

$AE = EC$なので、$\frac{AE}{EC} = 1$

$CG = 26$, $GB = x$なので、$\frac{CG}{GB} = \frac{26}{x}$

上記の値をメネラウスの定理の式に代入すると、

$1 \times \frac{26}{x} \times 1 = 1$

$\frac{26}{x} = 1$

$x = 26$

次に、三角形CBFと直線AGについてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{BG}{GC} \times \frac{CE}{EF} \times \frac{FA}{AB} = 1$

また、中点連結定理より、EDはBCに平行なので、EF:FB = CG:GB = 2:1

$\frac{BG}{GC} = \frac{1}{2}$

$\frac{FB}{EF} = \frac{1}{2}$

$\frac{FC}{CE} = \frac{3}{2}$

$AF = 2(AB)$

$\frac{BG}{26} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AD}{DB} = 1$

よって

$\frac{AF}{FB} = x$

ここで、メネラウスの定理を適用する代わりに、三角形の相似を利用する。

線分EDはBCに平行であり、$AD = DB$，$AE = EC$なので、中点連結定理より、$ED = \frac{1}{2}BC$。

また、$ED \parallel BC$より、$\triangle AEF \sim \triangle ABC$

したがって、$\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{BC}$

$\frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$

$EF:FB = 2:1$

$BC:EF=3$

$\frac{CG}{GB} = \frac{EF}{FB} = \frac{2}{1}$

よって

$GB = \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}(26) = 13$

3. 最終的な答え

13