平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。線分AF:FEの比と、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。線分AF:FEの比と、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AF:FEを求める。

まず、$\triangle BEF$ と $\triangle DAF$ において、

$\angle EBF = \angle FDA$ (平行線の錯角)

$\angle BEF = \angle DAF$ (平行線の錯角)

よって、$\triangle BEF \sim \triangle DAF$である。

相似比は、BE:DA = BE:BC = 1:2 (EはBCの中点なので)

したがって、BF:DF = 1:2 となる。

ここで、BO:OD = 1:1 (平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるから)なので、BF:FO:OD = 1:1:2 となる。

次に、$\triangle BFE$と$\triangle AFD$の相似比が1:2なので、BE:AD = 1:2 である。

また、$\triangle AFE$の面積をSとすると、

$AF:FE = \triangle ABD:\triangle EBD = 2BE:BE =2:1$となる。

$\triangle ABF:\triangle BFE=2:1$となり、$\triangle ABE=2S+S=3S$となる。

したがって、$AF:FE = AD:BE=2:1$である。

(2) $\triangle AFO$ : $\square ABCD$ を求める。

$\square ABCD = 2 \triangle ABD$

$\triangle ABD = \triangle ABO + \triangle AOD = 2 \triangle ABO$

$\triangle ABO = \frac{1}{2} \square ABCD$

また、$\triangle ABO = \frac{1}{4} \square ABCD$

ここで、

$\triangle AFO = \frac{FO}{BO} \triangle ABO = \frac{1}{3} \triangle ABO$

$\triangle AFO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \square ABCD = \frac{1}{12} \square ABCD$

$\triangle AFO : \square ABCD = \frac{1}{12} : 1 = 1:12$

3. 最終的な答え

AF:FE = 2:1

△AFO:□ABCD = 1:12