円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 8, BC = 3, CD = 5, DA = 5である。 (1) BDの長さを求めよ。 (2) 外接円の半径Rを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 8, BC = 3, CD = 5, DA = 5である。

(1) BDの長さを求めよ。

(2) 外接円の半径Rを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さ

四角形ABCDは円に内接するので、$∠BAD + ∠BCD = 180^\circ$。$∠BCD = \theta$とおくと、$∠BAD = 180^\circ - \theta$。

$\triangle ABD$において、余弦定理より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos(180^\circ - \theta) = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 (-\cos\theta) = 64 + 25 + 80\cos\theta = 89 + 80\cos\theta$。

$\triangle BCD$において、余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos\theta = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos\theta = 9 + 25 - 30\cos\theta = 34 - 30\cos\theta$。

よって、$89 + 80\cos\theta = 34 - 30\cos\theta$。

$110\cos\theta = -55$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$BD^2 = 34 - 30(-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$BD = 7$

(2) 外接円の半径R

$\triangle BCD$において、正弦定理より、$\frac{BD}{\sin\theta} = 2R$。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$より、$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって、$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$。

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 四角形ABCDの面積

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABD$の面積と$\triangle BCD$の面積の和である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2}AB \cdot AD \sin(180^\circ - \theta) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin\theta = 20\sin\theta = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$。

$\triangle BCD = \frac{1}{2}BC \cdot CD \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin\theta = \frac{15}{2}\sin\theta = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$。

四角形ABCDの面積 = $10\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{40\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) BD = 7

(2) R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 四角形ABCDの面積 = $\frac{55\sqrt{3}}{4}$