問題は2つあります。 (1) 三角形ABCにおいて、辺ABの中点をQ、QCの中点をRとし、ARの延長線が辺BCと交わる点をSとするとき、CS:SBとAR:RSを求めよ。 (2) 円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=3, DA=8であるとき、ACの長さと角ABCの角度、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 三角形ABCにおいて、辺ABの中点をQ、QCの中点をRとし、ARの延長線が辺BCと交わる点をSとするとき、CS:SBとAR:RSを求めよ。

(2) 円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=3, DA=8であるとき、ACの長さと角ABCの角度、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理とメネラウスの定理を使用します。

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

QはABの中点なので、$\frac{AQ}{QB} = 1$

RはQCの中点なので、$\frac{CR}{RQ} = 1$. よって$\frac{CR}{CA-CR} = 1$, $CR = RA$より$\frac{CR}{RA}= 1$

したがって、$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BS}{SC}=2$となり、$CS:SB = 1:2$

メネラウスの定理を三角形QBCと直線ARSに対して適用する。

$\frac{QA}{AB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RQ}=1$

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

QはABの中点なので$AQ=QB$. $AB = 2AQ$

したがって、$\frac{QA}{AQ+QB}=\frac{QA}{2AQ}=\frac{1}{2}$.

$CS:SB = 1:2$なので、$\frac{BS}{SC}=\frac{2}{1}=2$

RはQCの中点なので$CR=RQ$つまり$\frac{CR}{RQ}=1$

$\frac{BS}{SC}=2$. よって $\frac{SC}{BS}=\frac{1}{2}$.

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$. $1 \cdot 2 \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{CR}{RA}=1$, よって $\frac{AR}{RS} = 3$. $AR:RS = 3:4$

(2) 余弦定理とヘロンの公式を使用します。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$= 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos{\angle ABC}$

$= 25 + 9 - 30 \cdot \cos{\angle ABC}$

$= 34 - 30 \cdot \cos{\angle ABC}$

三角形ADCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$= 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos{\angle ADC}$

$= 64 + 9 - 48 \cdot \cos{\angle ADC}$

$= 73 - 48 \cdot \cos{\angle ADC}$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$。

したがって、$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^\circ - \angle ABC)} = - \cos{\angle ABC}$。

よって、$AC^2 = 73 + 48 \cdot \cos{\angle ABC}$

$34 - 30 \cdot \cos{\angle ABC} = 73 + 48 \cdot \cos{\angle ABC}$

$78 \cdot \cos{\angle ABC} = -39$

$\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{2}$

$\angle ABC = 120^\circ$

$AC^2 = 34 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AC = 7$

四角形ABCDの面積Sは、三角形ABCの面積と三角形ADCの面積の和である。

三角形ABCの面積 $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

三角形ADCの面積 $= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin{60^\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} = \frac{24\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積S $= \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{24\sqrt{3}}{4} = \frac{39\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) CS:SB = 1:2, AR:RS = 3:4

(2) AC = 7, ∠ABC = 120°, S = $\frac{39\sqrt{3}}{4}$