三角形ABCにおいて、AB=7, BC=5, CA=3である。ADは角Aの二等分線、AEは角Aの外角の二等分線である。このとき、BD, CD, BEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=5, CA=3である。ADは角Aの二等分線、AEは角Aの外角の二等分線である。このとき、BD, CD, BEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の性質を利用する。角Aの二等分線ADについて、BD:CD = AB:ACが成り立つ。また、角Aの外角の二等分線AEについて、BE:CE = AB:ACが成り立つ。

まず、BDとCDを求める。BD:CD = AB:AC = 7:3であり、BD + CD = BC = 5である。

BD = xとすると、CD = 5 - xであり、

$x:(5-x) = 7:3$

$3x = 7(5-x)$

$3x = 35 - 7x$

$10x = 35$

$x = 3.5$

したがって、BD = 3.5, CD = 5 - 3.5 = 1.5

次に、BEを求める。BE:CE = AB:AC = 7:3であり、CE = BE - BC = BE - 5である。

BE = yとすると、CE = y - 5であり、

$y:(y-5) = 7:3$

$3y = 7(y-5)$

$3y = 7y - 35$

$4y = 35$

$y = 8.75$

したがって、BE = 8.75

3. 最終的な答え

BD = 3.5

CD = 1.5

BE = 8.75