三角形ABCにおいて、点DはBCの中点、点E, FはAB上にあり、AE = EF = FBを満たします。ADとCE, CFの交点をそれぞれM, Nとするとき、AM : MN : NDの比を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点DはBCの中点、点E, FはAB上にあり、AE = EF = FBを満たします。ADとCE, CFの交点をそれぞれM, Nとするとき、AM : MN : NDの比を求めなさい。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用します。

まず、三角形ABDと直線CEについて、メネラウスの定理より、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DM}{MA} = 1$

$AE = EF = FB$ より、$AE/EB = 1/2$

DはBCの中点なので、$BC/CD = 2$

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{DM}{MA} = 1$

$\frac{DM}{MA} = 1$

よって、$AM = MD$

$AM:MD = 1:1$

次に、三角形ADCと直線CFについて、メネラウスの定理より、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DN}{NA} = 1$

$AE = EF = FB$ より、$AF/FB = 2/1 = 2$

DはBCの中点なので、$BC/CD = 2$

$2 \cdot 2 \cdot \frac{DN}{NC} = 1$

$\frac{DN}{NC} = \frac{1}{4}$

$AN = AD - ND = MD - ND$

ここで、AD = AM + MD, AN = AM + MN、ND = MD - AN

$AN:ND = x : (MD-x) = 1:1/4 = 4:1$

よって、

$AN = 4ND$

$AN=AD-ND$ より、

$4ND=AD-ND$

$5ND=AD$

$ND=\frac{1}{5}AD$

したがって、$AN = \frac{4}{5}AD$

$AM=MD$ より $AM= \frac{1}{2}AD$

$AM:MN:ND = \frac{1}{2}AD : (\frac{4}{5}AD-\frac{1}{2}AD) : \frac{1}{5}AD$

$= \frac{1}{2}:(\frac{8-5}{10}) : \frac{1}{5}$

$= \frac{1}{2}:\frac{3}{10}:\frac{1}{5}$

$= 5:3:2$

3. 最終的な答え

AM : MN : ND = 5 : 3 : 2