三角形ABCの内部の点Pと頂点A, B, Cを結ぶ直線が対辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれD, E, Fとする。$BD:DC = 2:3$, $FP:PA = 1:2$ であるとき、$CE:EA$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pと頂点A, B, Cを結ぶ直線が対辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれD, E, Fとする。$BD:DC = 2:3$, $FP:PA = 1:2$ であるとき、$CE:EA$を求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理を用いる。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cから対辺またはその延長上に引いた直線が一点Pで交わるとき、

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$

が成立するという定理である。

問題文より、$BD:DC = 2:3$なので、$\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$。

また、$AP:PF = 2:1$なので、$\frac{AF}{FB} = \frac{2}{1} = 2$。

したがって、チェバの定理より、

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot 2 = 1$$

$$\frac{4}{3} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$$

$$\frac{CE}{EA} = \frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

$CE:EA = 3:4$