$\triangle ABC$ と $\triangle ADE$ は、$\angle BAC = \angle DAE = 90^\circ$ の直角二等辺三角形です。辺 AC と辺 DE の交点を F とします。$\triangle ABD \sim \triangle AEF$ であることを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させ、適切な選択肢を選びます。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ と $\triangle ADE$ は、$\angle BAC = \angle DAE = 90^\circ$ の直角二等辺三角形です。辺 AC と辺 DE の交点を F とします。$\triangle ABD \sim \triangle AEF$ であることを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させ、適切な選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ と $\triangle ADE$ は直角二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB = \angle ADE = \angle AED = 45^\circ$ です。したがって、$\angle AEF = 45^\circ$ より、$\angle テ$ には $\angle AED$ が入ります。

次に、$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$ となります。$\angle BAC = 90^\circ$ なので、$\angle BAD = 90^\circ - \angle DAC$ です。したがって、$\angle ト$ には $\angle DAC$ が入ります。

同様に、$\angle EAF = \angle DAE - \angle DAF$ となります。$\angle DAE = 90^\circ$ なので、$\angle EAF = 90^\circ - \angle DAF$ です。したがって、$\angle ナ$ には $\angle DAF$ が入ります。

$\angle ト = \angle DAC$ 、$\angle ナ = \angle DAF$ なので、式(B)と式(C)より、$\angle BAD = 90^\circ - \angle DAC$ 、$\angle EAF = 90^\circ - \angle DAF$ となります。よって、$\angle BAD = \angle EAF$ が成立します。

式(A)より $\angle ADB= \angle ABC + \angle BAC=45^{\circ}+90^{\circ}$となり、$\angle AEF=45^\circ$より、$\angle ABD \neq \angle AEF$。

一方、$\angle AED=45^\circ$なので、$\angle ADE=\angle AEF=45^\circ$となり、$\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle ADB$、$\angle AEF = 180^\circ - \angle FAE - \angle AFE$より$\angle ADB=\angle AFE$は言えない。

$\angle BAD = \angle EAF$ (式D)が成り立ち、式(A)より$\angle AED = \angle AEF =45^\circ$であり、$\triangle ABC$と$\triangle ADE$が二等辺三角形より、$\angle ABD=\angle AED$となり、$\angle ABD=\angle AED$、$\angle BAD = \angle EAF$ より、2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \sim \triangle AEF$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\angle テ = \angle AED$

$\angle ト = \angle DAC$

$\angle ナ = \angle DAF$

$\angle ニ$ からには、⑥ 2組の角がそれぞれ等しい が入ります。