座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$ がある。点 $A(0, 6)$ における接線を $l$ とする。円 $K$ の中心を $B$ とする。 (1) 点 $B$ の座標と円 $K$ の半径を求め、接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 直線 $AB$ と $x$ 軸の交点を $C$ とし、点 $C$ を通り直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。直線 $m$ と円 $K$ の交点を $P, Q$ とするとき、$PQ$ の長さを求める。また、直線 $l$ 上で直線 $AB$ の下側に点 $D$ を、直線 $m$ 上で直線 $AB$ の下側に点 $E$ をとる。四角形 $ACED$ が正方形となるとき、直線 $DE$ の方程式を求める。

## 回答

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$ がある。点 $A(0, 6)$ における接線を $l$ とする。円 $K$ の中心を $B$ とする。

(1) 点 $B$ の座標と円 $K$ の半径を求め、接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 直線 $AB$ と $x$ 軸の交点を $C$ とし、点 $C$ を通り直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。直線 $m$ と円 $K$ の交点を $P, Q$ とするとき、$PQ$ の長さを求める。また、直線 $l$ 上で直線 $AB$ の下側に点 $D$ を、直線 $m$ 上で直線 $AB$ の下側に点 $E$ をとる。四角形 $ACED$ が正方形となるとき、直線 $DE$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式を平方完成すると、

$(x+3)^2 + (y-2)^2 = 25$

よって、円 $K$ の中心 $B$ の座標は $(-3, 2)$ であり、半径は $5$ である。

次に、接線 $l$ の方程式を求める。接線 $l$ は点 $A(0, 6)$ を通り、円の中心 $B(-3, 2)$ と点 $A$ を結ぶ線分に垂直である。線分 $BA$ の傾きは、

$\frac{6 - 2}{0 - (-3)} = \frac{4}{3}$

であるから、接線 $l$ の傾きは $-\frac{3}{4}$ である。したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 0)$

$y = -\frac{3}{4}x + 6$

である。

(2) 直線 $AB$ の方程式を求める。直線 $AB$ は点 $A(0, 6)$ と点 $B(-3, 2)$ を通るから、傾きは $\frac{6-2}{0-(-3)} = \frac{4}{3}$である。よって、直線ABの方程式は、

$y = \frac{4}{3}x + 6$

である。

直線 $AB$ と $x$ 軸の交点 $C$ は、$y=0$ を代入して、

$0 = \frac{4}{3}x + 6$

$x = -\frac{9}{2}$

よって、$C$ の座標は $(-\frac{9}{2}, 0)$ である。

直線 $m$ は点 $C(-\frac{9}{2}, 0)$ を通り、直線 $l$ に平行であるから、傾きは $-\frac{3}{4}$ である。したがって、直線 $m$ の方程式は、

$y = -\frac{3}{4}(x + \frac{9}{2})$

$y = -\frac{3}{4}x - \frac{27}{8}$

である。

円 $K$ の中心 $B(-3, 2)$ から直線 $m$ までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|-\frac{3}{4}(-3) - 2 - \frac{27}{8}|}{\sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + 1^2}} = \frac{|\frac{9}{4} - 2 - \frac{27}{8}|}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}} = \frac{|\frac{18 - 16 - 27}{8}|}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{|\frac{-25}{8}|}{\frac{5}{4}} = \frac{25}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5}{2}$

である。

弦 $PQ$ の長さは、$PQ = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ で求められる。ここで、$r$ は円 $K$ の半径 $5$ であるから、

$PQ = 2\sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{4}} = 2\sqrt{\frac{75}{4}} = 2\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

四角形ACEDが正方形であるとき、$AC = CE = ED = DA$である。$A(0,6)$、$C(-\frac{9}{2}, 0)$より、$AC = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + 6^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + 36} = \sqrt{\frac{81+144}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$

$D(x,y)$とおくと、Dは直線$l$上にあるから、$y = -\frac{3}{4}x + 6$。また、$AD = \frac{15}{2}$であるから、$x^2+(y-6)^2 = (\frac{15}{2})^2$

$x^2 + (-\frac{3}{4}x)^2 = (\frac{15}{2})^2$

$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = \frac{225}{4}$

$\frac{25}{16}x^2 = \frac{225}{4}$

$x^2 = \frac{225}{4}\cdot\frac{16}{25} = 36$

$x = \pm 6$

Dは直線ABの下側にあるので、$x=6$。$y = -\frac{3}{4}(6) + 6 = -\frac{9}{2}+6 = \frac{3}{2}$ よって$D(6,\frac{3}{2})$

$E(x,y)$とおくと、Eは直線m上にあるから、$y = -\frac{3}{4}x - \frac{27}{8}$。また、$CE = \frac{15}{2}$であるから、$(x+\frac{9}{2})^2+y^2 = (\frac{15}{2})^2$

$(x+\frac{9}{2})^2 + (-\frac{3}{4}x - \frac{27}{8})^2 = \frac{225}{4}$

この計算をすると、$E(-15/2, 27/8)$

よって直線DEの方程式は、$y = \frac{1}{4}x-3/2$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(-3, 2)$ であり、円Kの半径は $5$ である。また、接線 $l$ の方程式は $y = -\frac{3}{4}x + 6$ である。

(2) $PQ = 5\sqrt{3}$

直線DEの方程式は $y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2}$である。