2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ を求める。

## 問題の解答

### (9)の問題

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ を求める。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2$ を計算し、その後平方根を取る。

\begin{align*}

|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 &= (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \\

&= \vec{a} \cdot \vec{a} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\

&= |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 \\

&= 3^2 + 4(-2) + 4(\sqrt{2})^2 \\

&= 9 - 8 + 8 \\

&= 9

\end{align*}

したがって、

$|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{9} = 3$

3. 最終的な答え

3

### (10)の問題

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $3:5$ に内分する点を $D$、線分 $CD$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とする。$\vec{AE}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AD}$ を $\vec{AB}$ で表す。次に、$\vec{AE}$ を $\vec{AC}$ と $\vec{AD}$ で表す。最後に、$\vec{AD}$ を $\vec{AB}$ に代入する。

$\vec{AD} = \frac{3}{8} \vec{AB}$

点 $E$ は線分 $CD$ を $2:1$ に内分するので、

$\vec{AE} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AD}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3} \vec{AD}$

$\vec{AD}$ に $\vec{AD} = \frac{3}{8} \vec{AB}$ を代入すると、

$\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3} (\frac{3}{8} \vec{AB}) = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{4} \vec{AB}$

よって、

$\vec{AE} = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$

3. 最終的な答え

$\vec{AE} = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$