座標平面上の3点A(1, 1), B(3, -1), C(7, 3)を通る円を$S_1$とし、その中心をDとする。 (1) 直線ABの傾き、直線BCの傾き、∠ABCを求め、$S_1$の中心Dの座標と半径、$S_1$の方程式を求める。点(0, k)を通り$S_1$に接する2本の直線が直交するときのkの値と、それら2本の直線の傾きを求める。 (2) 原点を中心とする半径1の円を$S_2$とする。点Bを通る$S_2$の2本の接線のうち、接点のy座標が正である接線を$l$とする。このとき、$l$の方程式、$l$と$S_1$の二つの交点のうちBと異なる点Eの座標、三角形BDEの面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の3点A(1, 1), B(3, -1), C(7, 3)を通る円を$S_1$とし、その中心をDとする。

(1) 直線ABの傾き、直線BCの傾き、∠ABCを求め、$S_1$の中心Dの座標と半径、$S_1$の方程式を求める。点(0, k)を通り$S_1$に接する2本の直線が直交するときのkの値と、それら2本の直線の傾きを求める。

(2) 原点を中心とする半径1の円を$S_2$とする。点Bを通る$S_2$の2本の接線のうち、接点のy座標が正である接線を$l$とする。このとき、$l$の方程式、$l$と$S_1$の二つの交点のうちBと異なる点Eの座標、三角形BDEの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- 直線ABの傾き: $\frac{-1 - 1}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$

- 直線BCの傾き: $\frac{3 - (-1)}{7 - 3} = \frac{4}{4} = 1$

- $\angle ABC$: 直線ABの傾きが-1、直線BCの傾きが1なので、$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$

- 円の中心Dの座標: ABとBCの垂直二等分線の交点を求める。

ABの中点: $(2, 0)$、ABの垂直二等分線: $y = x - 2$

BCの中点: $(5, 1)$、BCの垂直二等分線: $y = -x + 6$

交点D: $x - 2 = -x + 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4, y = 2$ よってD(4, 2)

- 半径: $AD = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

- 円の方程式: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 10$

- 点(0, k)から円に引いた2本の接線が直交するとき、(0, k)は円の中心から距離$\sqrt{2}$rの場所にある。$\sqrt{2}r = \sqrt{20}$なので、中心(4, 2)との距離は$\sqrt{(4-0)^2 + (2-k)^2} = \sqrt{20}$

$16 + (2-k)^2 = 20 \Rightarrow (2-k)^2 = 4 \Rightarrow 2-k = \pm 2 \Rightarrow k = 0, 4$ kは正なのでk = 4

- 傾き: k = 4のとき、点(0, 4)から引いた接線の傾きは、円の中心(4, 2)を通る傾きmの直線を考える。

$y = m(x-4) + 2$と点(0, 4)を通るので、$4 = -4m + 2 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 10$に$y = mx + 4$を代入する。

$(x - 4)^2 + (mx + 4 - 2)^2 = 10 \Rightarrow (x - 4)^2 + (mx + 2)^2 = 10$

$x^2 - 8x + 16 + m^2x^2 + 4mx + 4 = 10 \Rightarrow (1 + m^2)x^2 + (4m - 8)x + 10 = 0$

判別式: $D = (4m - 8)^2 - 4(1 + m^2)10 = 16m^2 - 64m + 64 - 40 - 40m^2 = -24m^2 - 64m + 24 = 0$

$3m^2 + 8m - 3 = 0 \Rightarrow (3m - 1)(m + 3) = 0$

よって、$m = \frac{1}{3}, -3$

(2)

- $S_2$: $x^2 + y^2 = 1$

- 点B(3, -1)を通る接線: $y = m(x - 3) - 1$

$x^2 + (m(x - 3) - 1)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + (mx - 3m - 1)^2 = 1$

$x^2 + m^2x^2 + 9m^2 + 1 - 6m^2x - 2mx + 6m = 1$

$(1 + m^2)x^2 + (-6m^2 - 2m)x + 9m^2 + 6m = 0$

判別式: $(-6m^2 - 2m)^2 - 4(1 + m^2)(9m^2 + 6m) = 0$

$36m^4 + 24m^3 + 4m^2 - 4(9m^2 + 6m + 9m^4 + 6m^3) = 0$

$36m^4 + 24m^3 + 4m^2 - 36m^2 - 24m - 36m^4 - 24m^3 = 0$

$-32m^2 - 24m = 0 \Rightarrow -8m(4m + 3) = 0 \Rightarrow m = 0, -\frac{3}{4}$

$m = 0$: $y = -1$ (接点(0, -1))

$m = -\frac{3}{4}$: $y = -\frac{3}{4}(x - 3) - 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} - 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$

接点: $x^2 + (-\frac{3}{4}x + \frac{5}{4})^2 = 1$

$16x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 16 \Rightarrow 25x^2 - 30x + 9 = 0 \Rightarrow (5x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$

$y = -\frac{3}{4}(\frac{3}{5}) + \frac{5}{4} = -\frac{9}{20} + \frac{25}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ (接点$(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$)

接点のy座標が正である接線は$y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$

$4y = -3x + 5 \Rightarrow 3x + 4y = 5$

$l$と$S_1$の交点E:

$3x + 4y = 5 \Rightarrow y = \frac{5 - 3x}{4}$

$(x - 4)^2 + (\frac{5 - 3x}{4} - 2)^2 = 10$

$(x - 4)^2 + (\frac{5 - 3x - 8}{4})^2 = 10$

$(x - 4)^2 + (\frac{-3x - 3}{4})^2 = 10$

$16(x^2 - 8x + 16) + (9x^2 + 18x + 9) = 160$

$16x^2 - 128x + 256 + 9x^2 + 18x + 9 = 160$

$25x^2 - 110x + 105 = 0$

$5x^2 - 22x + 21 = 0$

$(5x - 7)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3, \frac{7}{5}$

$x = 3 \Rightarrow y = \frac{5 - 9}{4} = -1$ (点B)

$x = \frac{7}{5} \Rightarrow y = \frac{5 - \frac{21}{5}}{4} = \frac{\frac{4}{5}}{4} = \frac{1}{5}$

$E(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

三角形BDEの面積:

$B(3, -1), D(4, 2), E(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

$S = \frac{1}{2} |(3(2 - \frac{1}{5}) + 4(\frac{1}{5} - (-1)) + \frac{7}{5}(-1 - 2))|$

$S = \frac{1}{2} |(3(\frac{9}{5}) + 4(\frac{6}{5}) + \frac{7}{5}(-3))|$

$S = \frac{1}{2} |(\frac{27}{5} + \frac{24}{5} - \frac{21}{5})| = \frac{1}{2} |\frac{30}{5}| = \frac{1}{2} \times 6 = 3$

3. 最終的な答え

アイ: -1

ウ: 1

エ: 4

オ: 4

カ: 2

キク: 10

ケ: 4

コ: 3

サシ: -3

ス: 3

セ: 4

ソ: 5

タ: 7

チ: 5

ツ: 1

テ: 5

ト: 3