三角形ABCについて、以下の値を求めます。 (1) $b=4, c=5, A=30^\circ$ のとき、三角形ABCの面積$S$の値を求めます。 (2) $A=30^\circ, B=45^\circ, b=2\sqrt{2}$ のとき、$a$の値を求めます。 (3) $A=60^\circ, b=2, c=3$ のとき、$a$の値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCについて、以下の値を求めます。

(1) $b=4, c=5, A=30^\circ$ のとき、三角形ABCの面積$S$の値を求めます。

(2) $A=30^\circ, B=45^\circ, b=2\sqrt{2}$ のとき、$a$の値を求めます。

(3) $A=60^\circ, b=2, c=3$ のとき、$a$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 面積の公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を使います。

$b=4$, $c=5$, $A=30^\circ$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 30^\circ$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2}$

$S = 5$

(2) 正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を使います。

$A=30^\circ$, $B=45^\circ$, $b=2\sqrt{2}$ なので、

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$2a = 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$2a = 4$

$a = 2$

(3) 余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ を使います。

$A=60^\circ$, $b=2$, $c=3$ なので、

$a^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$a^2 = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2}$

$a^2 = 13 - 6$

$a^2 = 7$

$a = \sqrt{7}$ (a > 0なので)

3. 最終的な答え

(1) $S = 5$

(2) $a = 2$

(3) $a = \sqrt{7}$