四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDを4:1に内分する点をE、線分OEの中点をF、直線CFが平面OABと交わる点をGとするとき、$\vec{OG} = \frac{[5]}{[6|7]} \vec{OA} + \frac{[8]}{[9|10]} \vec{OB}$となる。空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDを4:1に内分する点をE、線分OEの中点をF、直線CFが平面OABと交わる点をGとするとき、$\vec{OG} = \frac{[5]}{[6|7]} \vec{OA} + \frac{[8]}{[9|10]} \vec{OB}$となる。空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OD}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表します。Dは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

次に、$\vec{OE}$を$\vec{OC}$と$\vec{OD}$で表します。Eは線分CDを4:1に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{1}{5}\vec{OC} + \frac{4}{5}\vec{OD} = \frac{1}{5}\vec{OC} + \frac{4}{5}(\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}) = \frac{4}{15}\vec{OA} + \frac{8}{15}\vec{OB} + \frac{1}{5}\vec{OC}$

$\vec{OF}$を$\vec{OE}$で表します。Fは線分OEの中点なので、

$\vec{OF} = \frac{1}{2}\vec{OE} = \frac{2}{15}\vec{OA} + \frac{4}{15}\vec{OB} + \frac{1}{10}\vec{OC}$

$\vec{OG}$を$\vec{OF}$と$\vec{OC}$で表します。Gは直線CF上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OG} = (1-k)\vec{OC} + k\vec{OF} = (1-k)\vec{OC} + k(\frac{2}{15}\vec{OA} + \frac{4}{15}\vec{OB} + \frac{1}{10}\vec{OC})$

$= \frac{2k}{15}\vec{OA} + \frac{4k}{15}\vec{OB} + (1-k+\frac{k}{10})\vec{OC} = \frac{2k}{15}\vec{OA} + \frac{4k}{15}\vec{OB} + (1-\frac{9k}{10})\vec{OC}$

Gは平面OAB上にあるので、$\vec{OG} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$と表せます。

$\vec{OC}$の係数は0なので、$1-\frac{9k}{10} = 0$となり、$k = \frac{10}{9}$です。

これを代入すると、

$\vec{OG} = \frac{2}{15}(\frac{10}{9})\vec{OA} + \frac{4}{15}(\frac{10}{9})\vec{OB} = \frac{4}{27}\vec{OA} + \frac{8}{27}\vec{OB}$

よって、$\frac{4}{27}\vec{OA} + \frac{8}{27}\vec{OB} = \frac{[5]}{[6|7]} \vec{OA} + \frac{[8]}{[9|10]} \vec{OB}$なので、[5]=4, [6|7]=27, [8]=8, [9|10]=27

3. 最終的な答え

$\vec{OG} = \frac{4}{27} \vec{OA} + \frac{8}{27} \vec{OB}$