直角三角形ABCにおいて、点Pが点Aから辺AB上を通り点Bを経て辺BC上を点Cまで移動する。点Pは毎秒1cmの速さで移動し、点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とする。 (1) 点Pが点Aを出発してから3秒後のyの値を求める。 (2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。 (3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域、CPの長さをxの式で表し、yをxの式で表す。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点Pが点Aから辺AB上を通り点Bを経て辺BC上を点Cまで移動する。点Pは毎秒1cmの速さで移動し、点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とする。

(1) 点Pが点Aを出発してから3秒後のyの値を求める。

(2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。

(3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域、CPの長さをxの式で表し、yをxの式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが点Aを出発してから3秒後の場合、AP = 3cmとなる。三角形ABCの面積は、ABを底辺、BCを高さとすると、$1/2 * AB * BC = 1/2 * 10 * 4 = 20 cm^2$である。三角形APCの面積は、APを底辺、BCを高さとすると、$1/2 * AP * BC = 1/2 * 3 * 4 = 6 cm^2$である。したがって、$y = 6$となる。

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、$0 \le x \le 10$である。yはxに比例して増加するため、グラフは直線になる。x=10のとき、点Pは点Bに位置し、三角形APCの面積は三角形ABCの面積と等しくなる。したがって、$y = 1/2 * 10 * 4 = 20$となる。よって、グラフは原点から(10, 20)を結ぶ直線になる。選択肢から3番が該当する。

(3) 点Pが辺BC上を動くとき、点Bに到着するまで10秒かかり、点Cに到着するまでさらにBCの長さの4cm移動するので、4秒かかる。したがって、$10 \le x \le 14$である。

CPの長さは、BCの長さからBPの長さを引いたものになる。BPの長さは$x - 10$cmなので、$CP = 4 - (x - 10) = 14 - x$cmとなる。

三角形APCの面積yは、$y = 1/2 * CP * AB = 1/2 * (14 - x) * 10 = 5(14 - x) = 70 - 5x$となる。したがって、$y = -5x + 70$となる。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 3

(3) $10 \le x \le 14$

CP = $(14 - x)$cm

$y = -5x + 70$