(1) 直線 $l$ と $m$ が平行であるとき、角度 $x$ を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$\angle ABC$ と $\angle ACB$ の二等分線がそれぞれ $BD$ と $CD$ であるとき、角度 $x$ を求める。 (3) $E$ は線分 $AB$ と $CD$ の交点であり、$AD // CB$ であるとき、$x$ の値を求める。 (4) 4点 $A, B, C, D$ が円の周上の点であり、$BD$ が円の直径であるとき、角度 $x$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $l$ と $m$ が平行であるとき、角度 $x$ を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$\angle ABC$ と $\angle ACB$ の二等分線がそれぞれ $BD$ と $CD$ であるとき、角度 $x$ を求める。

(3) $E$ は線分 $AB$ と $CD$ の交点であり、$AD // CB$ であるとき、$x$ の値を求める。

(4) 4点 $A, B, C, D$ が円の周上の点であり、$BD$ が円の直径であるとき、角度 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

平行線の錯角は等しいので、図の57°の角度と、29°+αの角度は等しい。

したがって、$\alpha = 57^\circ - 29^\circ = 28^\circ$。

平行線の錯角より、$x = \alpha + 29^\circ = 28^\circ + 29^\circ$

(2)

$\angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC$

$\angle DCB = \frac{1}{2} \angle ACB$

$\angle BDC = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$

$\angle DBC + \angle DCB = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 2(\angle DBC + \angle DCB) = 2 \times 114^\circ = 228^\circ$

$x = \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - 228^\circ$

これはありえないので、$BD, CD$はそれぞれ$\angle ABC, \angle ACB$の二等分線。$\angle BDC = 114^{\circ}$

したがって、$\angle DBC + \angle DCB = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 2(\angle DBC + \angle DCB) = 2 \times 66^\circ = 132^\circ$

$x = \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - 132^\circ$

(3)

$\triangle AED \sim \triangle BEC$

$\frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE} = \frac{AD}{BC}$

$\frac{15}{x} = \frac{24}{20}$

$x = \frac{15 \times 20}{24}$

(4)

$BD$ は直径なので、$\angle BCD = 90^\circ$

$\angle CBD = 90^\circ - \angle BDC = 90^\circ - 48^\circ$

$\angle CAD = \angle CBD$

$x = \angle CAD = \angle CBD = 90^\circ - 48^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $x = 57^\circ$

(2) $x = 48^\circ$

(3) $x = 12.5$

(4) $x = 42^\circ$