直線 $y = 3x + 1$ に関して、円 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1$ と対称な円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 3x + 1$ に関して、円 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1$ と対称な円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1$ の中心は $(4, 3)$ であり、半径は $1$ である。

求める円は、与えられた円と半径が同じであり、中心が直線 $y = 3x + 1$ に関して点 $(4, 3)$ と対称な点である。

まず、点 $(4, 3)$ を通り、直線 $y = 3x + 1$ に垂直な直線の方程式を求める。

直線 $y = 3x + 1$ の傾きは $3$ であるから、これに垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ である。

したがって、点 $(4, 3)$ を通り、傾き $-\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、

$y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 4)$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} + 3$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$

次に、直線 $y = 3x + 1$ と直線 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$ の交点を求める。

$3x + 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$

$9x + 3 = -x + 13$

$10x = 10$

$x = 1$

したがって、$y = 3(1) + 1 = 4$ である。

交点は $(1, 4)$ である。

点 $(4, 3)$ と対称な点の座標を $(a, b)$ とすると、交点 $(1, 4)$ は線分の中点であるから、

$\frac{4+a}{2} = 1$ かつ $\frac{3+b}{2} = 4$

$4+a = 2$ かつ $3+b = 8$

$a = -2$ かつ $b = 5$

したがって、求める円の中心は $(-2, 5)$ であり、半径は $1$ であるから、求める円の方程式は

$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 1$

3. 最終的な答え

$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 1$