円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=CBであり、線分ACとBDの交点をPとする。 (1) △BCP ∽ △BDCとなることを証明する空欄を埋める。 (2) BP=4cm, PD=6cmのとき、BCの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=CBであり、線分ACとBDの交点をPとする。

(1) △BCP ∽ △BDCとなることを証明する空欄を埋める。

(2) BP=4cm, PD=6cmのとき、BCの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* △BCPと△BDCにおいて、∠PBCは共通な角であるから、∠PBC = ∠DBC　…(i) したがって、スには⑤が入る。

* AB = CBより、△ABCは二等辺三角形であり、二等辺三角形の底角は等しいから、∠BAC=∠BCA …(ii) したがって、セには①が入る。

* BCに対する円周角は等しいから、∠BAC=∠BDC　…(iii)したがって、ソには③が入る。

* (ii), (iii)より、∠BCA=∠BDC　…(iv)

* (i), (iv)より、2組の角がそれぞれ等しいから、△BCP∽△BDC。したがって、タには③が入る。

(2)

△BCP ∽ △BDCより、対応する辺の比は等しいから、

$\frac{BC}{BD} = \frac{BP}{BC}$

$BC^2 = BP \cdot BD$

$BC^2 = BP \cdot (BP + PD)$

$BC^2 = 4 \cdot (4+6) = 4 \cdot 10 = 40$

$BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) ス: ⑤, セ: ①, ソ: ③, タ: ③

(2) BC = $2\sqrt{10}$ cm