放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = \frac{2}{3}x + 5$ の交点を A, B とする。 直線 $y = \frac{2}{3}x + 5$ と直線 $y = 4x$ の交点を P とする。 ただし、A の x 座標は負とする。 このとき、三角形 OAP と三角形 OPB の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と直線 $y = \frac{2}{3}x + 5$ の交点を A, B とする。

直線 $y = \frac{2}{3}x + 5$ と直線 $y = 4x$ の交点を P とする。

ただし、A の x 座標は負とする。

このとき、三角形 OAP と三角形 OPB の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

まず、点 A, B の座標を求める。

$y = \frac{1}{3}x^2$ と $y = \frac{2}{3}x + 5$ の交点なので、

$\frac{1}{3}x^2 = \frac{2}{3}x + 5$

$x^2 = 2x + 15$

$x^2 - 2x - 15 = 0$

$(x - 5)(x + 3) = 0$

$x = 5, -3$

A の x 座標は負なので、A の x 座標は -3。このとき、$y = \frac{1}{3}(-3)^2 = 3$。

したがって、A の座標は (-3, 3)。

B の x 座標は 5。このとき、$y = \frac{1}{3}(5)^2 = \frac{25}{3}$。

したがって、B の座標は (5, $\frac{25}{3}$)。

次に、点 P の座標を求める。

$y = \frac{2}{3}x + 5$ と $y = 4x$ の交点なので、

$\frac{2}{3}x + 5 = 4x$

$2x + 15 = 12x$

$10x = 15$

$x = \frac{3}{2}$

このとき、$y = 4(\frac{3}{2}) = 6$

したがって、P の座標は ($\frac{3}{2}$, 6)。

三角形 OAP と三角形 OPB の面積比を求める。

2つの三角形の面積比は、底辺の比に等しい。底辺は、それぞれ直線 OP 上の線分 AP と BP とする。

あるいは、Oを基準として、A, B, P の x 座標の絶対値の比を考えればよい。三角形 OAP と三角形 OPB の高さはいずれも原点 O から y 軸に下ろした垂線となるので、面積比は底辺の比に等しくなる。

底辺 AP の長さと底辺 BP の長さの比は、点 A と点 B の x 座標の差の絶対値の比に等しくなる。

$\triangle OAP : \triangle OPB = |(-3) - (\frac{3}{2})| : |(5) - (\frac{3}{2})|$

$= |-\frac{9}{2}| : |\frac{7}{2}|$

$= \frac{9}{2} : \frac{7}{2}$

$= 9 : 7$

3. 最終的な答え

9 : 7