三角形OABがあり、重心をGとする。正の実数pに対して、$(3p-2)\vec{OP} - 2p\vec{PA} - p\vec{PB} = \vec{0}$を満たす点Pをとる。$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}$とする。 (1) $\vec{OG}, \vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。 (2) 直線OPと直線ABの交点をCとするとき、$\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。また、OP:OCとAC:CBを求めよ。 (3) 正の実数qに対して、$\vec{OQ} = q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。 (i) qをpを用いて表せ。 (ii) 三角形OABの面積をS、三角形OPQの面積をTとするとき、S:T = 27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、重心をGとする。正の実数pに対して、$(3p-2)\vec{OP} - 2p\vec{PA} - p\vec{PB} = \vec{0}$を満たす点Pをとる。$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}$とする。

(1) $\vec{OG}, \vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

(2) 直線OPと直線ABの交点をCとするとき、$\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。また、OP:OCとAC:CBを求めよ。

(3) 正の実数qに対して、$\vec{OQ} = q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。

(i) qをpを用いて表せ。

(ii) 三角形OABの面積をS、三角形OPQの面積をTとするとき、S:T = 27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

重心Gについて、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OO}}{3} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$

$(3p-2)\vec{OP} - 2p\vec{PA} - p\vec{PB} = \vec{0}$ より、$(3p-2)\vec{OP} - 2p(\vec{OA} - \vec{OP}) - p(\vec{OB} - \vec{OP}) = \vec{0}$

$(3p-2 + 2p + p)\vec{OP} = 2p\vec{OA} + p\vec{OB}$

$6p-2)\vec{OP} = 2p\vec{a} + p\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{2p\vec{a} + p\vec{b}}{6p-2} = \frac{2p}{6p-2}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b} = \frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}$

(2)

$\vec{OC} = k\vec{OP}$とおくと、$\vec{OC} = k(\frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}) = \frac{kp}{3p-1}\vec{a} + \frac{kp}{6p-2}\vec{b}$

点Cは直線AB上にあるので、$\frac{kp}{3p-1} + \frac{kp}{6p-2} = 1$

$\frac{k}{3p-1} + \frac{k}{6p-2} = \frac{1}{p}$

$\frac{k(6p-2) + k(3p-1)}{(3p-1)(6p-2)} = \frac{1}{p}$

$k(9p-3)p = (3p-1)(6p-2)$

$k = \frac{(3p-1)(6p-2)}{p(9p-3)} = \frac{2(3p-1)^2}{3p(3p-1)} = \frac{2(3p-1)}{3p}$

$\vec{OC} = \frac{2(3p-1)}{3p} \cdot (\frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2(3p-1)}{3p} \frac{p}{2(3p-1)}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$OP:OC = 1:k = 1:\frac{2(3p-1)}{3p} = 3p:2(3p-1) = 3p:6p-2$

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$より、$AC:CB = 1:2$

(3)

(i) $\vec{OQ} = q\vec{b}$

P, G, Qが一直線上にあるので、$\vec{OG} = s\vec{OP} + (1-s)\vec{OQ}$

$\frac{\vec{a} + \vec{b}}{3} = s(\frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}) + (1-s)q\vec{b}$

$\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{sp}{3p-1}\vec{a} + (\frac{sp}{6p-2} + q - sq)\vec{b}$

$\frac{1}{3} = \frac{sp}{3p-1}$ より、$s = \frac{3p-1}{3p}$

$\frac{1}{3} = \frac{(\frac{3p-1}{3p})p}{6p-2} + q - q(\frac{3p-1}{3p})$

$\frac{1}{3} = \frac{3p-1}{3(6p-2)} + q - q + \frac{q}{3p}$

$\frac{1}{3} = \frac{3p-1}{6(3p-1)} + \frac{q}{3p}$

$\frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{q}{3p}$

$\frac{1}{6} = \frac{q}{3p}$

$q = \frac{3p}{6} = \frac{p}{2}$

(ii)

$S = \frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$

$\vec{OP} = \frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}$

$\vec{OQ} = \frac{p}{2}\vec{b}$

$T = \frac{1}{2}|\vec{OP} \times \vec{OQ}| = \frac{1}{2}|(\frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}) \times \frac{p}{2}\vec{b}| = \frac{1}{2}|\frac{p^2}{2(3p-1)}(\vec{a} \times \vec{b}) + \frac{p^2}{2(6p-2)} (\vec{b} \times \vec{b})| = \frac{p^2}{4(3p-1)}|\vec{a} \times \vec{b}|$

$S:T = 27:8$ より、$\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| : \frac{p^2}{4(3p-1)}|\vec{a} \times \vec{b}| = 27:8$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4(3p-1)}{p^2} = \frac{27}{8}$

$\frac{2(3p-1)}{p^2} = \frac{27}{8}$

$16(3p-1) = 27p^2$

$27p^2 - 48p + 16 = 0$

$(9p-4)(3p-4) = 0$

$p = \frac{4}{9}, \frac{4}{3}$

$p = \frac{4}{9}$のとき、$q = \frac{p}{2} = \frac{2}{9}$

$p = \frac{4}{3}$のとき、$q = \frac{p}{2} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{3}$、$\vec{OP} = \frac{p}{3p-1}\vec{a} + \frac{p}{6p-2}\vec{b}$

(2) $\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$、OP:OC = $3p:6p-2$、AC:CB = 1:2

(3) (i) $q = \frac{p}{2}$

(ii) $(p,q) = (\frac{4}{9}, \frac{2}{9}), (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$