3つの数 $\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{3}$、$\sqrt[5]{5}$ の大小を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

3つの数 $\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{3}$、$\sqrt[5]{5}$ の大小を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形に変形し、根号の中身の大小を比較することで大小を判断する。

3つの数の累乗根の指数はそれぞれ2、3、5なので、これらの最小公倍数である30を新しい指数として、それぞれの数を表す。

まず、$\sqrt{2}$を30乗根で表すと、

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{30}} = \sqrt[30]{2^{15}} = \sqrt[30]{32768}$

次に、$\sqrt[3]{3}$を30乗根で表すと、

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{30}} = \sqrt[30]{3^{10}} = \sqrt[30]{59049}$

最後に、$\sqrt[5]{5}$を30乗根で表すと、

$\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{6}{30}} = \sqrt[30]{5^{6}} = \sqrt[30]{15625}$

根号の中身を比較すると、$15625 < 32768 < 59049$ となるので、

$\sqrt[30]{15625} < \sqrt[30]{32768} < \sqrt[30]{59049}$

したがって、$\sqrt[5]{5} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[5]{5} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$