平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、これらの直線が平面を $a_n$ 個の部分に分けるとする。$a_n$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとき、これらの直線が平面を $a_n$ 個の部分に分けるとする。$a_n$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

$n$本の直線によって平面が $a_n$ 個の部分に分けられているとき、$(n+1)$本目の直線を引くことを考える。

この直線は、すでに引かれている $n$ 本の直線と交わる。どの2本の直線も平行でないので、$(n+1)$本目の直線は、$n$ 本の直線すべてと交わる。また、どの3本も1点で交わらないので、$(n+1)$本目の直線は $n$ 個の異なる交点を持つ。

これらの $n$ 個の交点によって、$(n+1)$本目の直線は $(n+1)$ 個の部分に分割される。$(n+1)$本目の直線が新たに引かれることで、これらの $(n+1)$ 個の部分がそれぞれ平面の領域を2つに分割するので、領域の数は $(n+1)$ 個増える。したがって、漸化式は

$a_{n+1} = a_n + (n+1)$

となる。

$a_0 = 1$ (直線が1本もないとき、平面全体で1つの領域)。

$a_1 = 2$ (直線が1本あれば、平面は2つの領域に分割される)。

漸化式を解く。

$a_{n+1} - a_n = n+1$

$n = 0, 1, 2, ..., n-1$ を代入すると、

$a_1 - a_0 = 1$

$a_2 - a_1 = 2$

$a_3 - a_2 = 3$

...

$a_n - a_{n-1} = n$

これらの式を辺々加えると、

$a_n - a_0 = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$a_n = a_0 + \frac{n(n+1)}{2} = 1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2 + n^2 + n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$