画像に記載された数列の一般項を求める問題と、数学的帰納法や不等式の証明問題です。具体的には以下の問題があります。 * **問題1:** 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 1. $a_1 = 1, a_{n+1} = -a_n \cdot 4^n$ 2. $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ * **問題2:** 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 1. $a_1 = 5, a_{n+1} = 3a_n - 4$ 2. $a_1 = 2, a_{n+1} = 9 - 2a_n$ 3. $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$ 4. $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 1$ * **問題3:** $n$ は自然数とする。数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。 $1+4+7+ \dots + (3n-2) = \frac{1}{2}n(3n-1)$ * **問題4:** $n$ を3以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。 $3^n > 5n + 1$ 今回は、問題2の(1)を解きます。 **問題2(1):** $a_1 = 5, a_{n+1} = 3a_n - 4$

1. 問題の内容

画像に記載された数列の一般項を求める問題と、数学的帰納法や不等式の証明問題です。具体的には以下の問題があります。

* **問題1:** 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. $a_1 = 1, a_{n+1} = -a_n \cdot 4^n$

2. $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3n - 1$

* **問題2:** 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. $a_1 = 5, a_{n+1} = 3a_n - 4$

2. $a_1 = 2, a_{n+1} = 9 - 2a_n$

3. $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$

4. $a_1 = 1, a_{n+1} = 4a_n + 1$

* **問題3:** $n$ は自然数とする。数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。

$1+4+7+ \dots + (3n-2) = \frac{1}{2}n(3n-1)$

* **問題4:** $n$ を3以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。

$3^n > 5n + 1$

今回は、問題2の(1)を解きます。

**問題2(1):** $a_1 = 5, a_{n+1} = 3a_n - 4$

2. 解き方の手順

1. **漸化式の変形:**

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 4$ を、特性方程式を使って変形します。特性方程式は $x = 3x - 4$ となり、これを解くと $x = 2$ となります。したがって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$

2. **数列 $\{a_n - 2\}$ の一般項:**

数列 $\{a_n - 2\}$ は、初項 $a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$、公比 $3$ の等比数列です。したがって、その一般項は次のようになります。

$a_n - 2 = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

3. **数列 $\{a_n\}$ の一般項:**

上記の式から、数列 $\{a_n\}$ の一般項は次のように求められます。

$a_n = 3^n + 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n + 2$