等比数列において、$a_3 = 20$、$a_7 = \frac{5}{4}$が与えられています。公比 $r$ は正の数です。この数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

等比数列において、$a_3 = 20$、$a_7 = \frac{5}{4}$が与えられています。公比 $r$ は正の数です。この数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

与えられた情報から、$a_3 = a_1 r^{3-1} = a_1 r^2 = 20$ と $a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = \frac{5}{4}$ という2つの式が得られます。

これらの式を用いて、$a_1$ と $r$ を求めます。$a_1r^6$を$a_1r^2$で割ると、

$$\frac{a_1 r^6}{a_1 r^2} = \frac{\frac{5}{4}}{20}$$

$$r^4 = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{16}$$

$r>0$より、$r = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$

次に、$a_1$ を求めます。$a_1 r^2 = 20$ に $r = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$a_1 (\frac{1}{2})^2 = 20$

$a_1 \cdot \frac{1}{4} = 20$

$a_1 = 80$

したがって、一般項は $a_n = a_1 r^{n-1} = 80 (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 80(\frac{1}{2})^{n-1}$