与えられた4x4行列 $A$ の行列式を計算します。 $ A = \begin{pmatrix} x_1^3 + 3x_1 & 2x_1+1 & x_1^2+2x_1 & x_1^3+1 \\ x_2^3 + 3x_2 & 2x_2+1 & x_2^2+2x_2 & x_2^3+1 \\ x_3^3 + 3x_3 & 2x_3+1 & x_3^2+2x_3 & x_3^3+1 \\ x_4^3 + 3x_4 & 2x_4+1 & x_4^2+2x_4 & x_4^3+1 \end{pmatrix} $
2025/7/31
1. 問題の内容
与えられた4x4行列 の行列式を計算します。
$ A = \begin{pmatrix}
x_1^3 + 3x_1 & 2x_1+1 & x_1^2+2x_1 & x_1^3+1 \\
x_2^3 + 3x_2 & 2x_2+1 & x_2^2+2x_2 & x_2^3+1 \\
x_3^3 + 3x_3 & 2x_3+1 & x_3^2+2x_3 & x_3^3+1 \\
x_4^3 + 3x_4 & 2x_4+1 & x_4^2+2x_4 & x_4^3+1
\end{pmatrix} $
2. 解き方の手順
行列式を計算するために、行列の性質を利用して行列を簡略化します。
まず、各列を分解して行列の和の形にします。
$A = \begin{pmatrix}
x_1^3 & 2x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\
x_2^3 & 2x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\
x_3^3 & 2x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\
x_4^3 & 2x_4 & x_4^2 & x_4^3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x_1^3 & 1 & x_1^2 & x_1^3 \\
x_2^3 & 1 & x_2^2 & x_2^3 \\
x_3^3 & 1 & x_3^2 & x_3^3 \\
x_4^3 & 1 & x_4^2 & x_4^3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3x_1 & 2x_1 & 2x_1 & 1 \\
3x_2 & 2x_2 & 2x_2 & 1 \\
3x_3 & 2x_3 & 2x_3 & 1 \\
3x_4 & 2x_4 & 2x_4 & 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3x_1 & 1 & x_1^2 & 1 \\
3x_2 & 1 & x_2^2 & 1 \\
3x_3 & 1 & x_3^2 & 1 \\
3x_4 & 1 & x_4^2 & 1
\end{pmatrix} $
元の行列を以下のように変形します。
第1列から第4列を引きます。
第3列から第1列を引きます。
第2列から第1列を引きます。
これらの操作を行っても行列式の値は変わりません。
$ A = \begin{pmatrix}
x_1^3 + 3x_1 & -x_1^3 - x_1 + 1 & -x_1^3 + x_1^2 - x_1 & 1 \\
x_2^3 + 3x_2 & -x_2^3 - x_2 + 1 & -x_2^3 + x_2^2 - x_2 & 1 \\
x_3^3 + 3x_3 & -x_3^3 - x_3 + 1 & -x_3^3 + x_3^2 - x_3 & 1 \\
x_4^3 + 3x_4 & -x_4^3 - x_4 + 1 & -x_4^3 + x_4^2 - x_4 & 1
\end{pmatrix}$
行列式を計算する際、同じ列や行が比例していると、行列式は0になります。
行列 の第1列と第4列、および第1行と第4行がよく似ていることから、これらの列や行をうまく組み合わせることで行列式を0にできるのではないかと推測できます。
また、もし であれば、行列の第1行と第2行が等しくなるため、行列式は0になります。同様に、やの場合も行列式は0になります。
一般的に、行列式の計算は非常に複雑になりますが、与えられた行列の特殊な形から、行列式が0になることが予想されます。
3. 最終的な答え
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