与えられた複素数を極形式で表す問題です。ただし、偏角$\theta$の範囲が(1)と(2)では$0 \leq \theta < 2\pi$、(3)と(4)では$-\pi < \theta \leq \pi$と指定されています。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。ただし、偏角$\theta$の範囲が(1)と(2)では$0 \leq \theta < 2\pi$、(3)と(4)では$-\pi < \theta \leq \pi$と指定されています。

2. 解き方の手順

複素数$z = a + bi$を極形式$r(\cos \theta + i \sin \theta)$で表すには、まず絶対値$r = \sqrt{a^2 + b^2}$を計算し、次に偏角$\theta$を$\cos \theta = \frac{a}{r}$と$\sin \theta = \frac{b}{r}$から求めます。問題文で指定された$\theta$の範囲に注意して、偏角を決定します。

(1) $z = \sqrt{3} + i$の場合:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ ($0 \leq \theta < 2\pi$の範囲内)

(2) $z = 2 - 2i$の場合:

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\theta = \frac{7\pi}{4}$ ($0 \leq \theta < 2\pi$の範囲内)

(3) $z = -1 - \sqrt{3}i$の場合:

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \theta = \frac{-1}{2}$、$\sin \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$-\pi < \theta \leq \pi$の範囲内で$\theta = -\frac{2\pi}{3}$

(4) $z = -i$の場合:

$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$

$\cos \theta = \frac{0}{1} = 0$、$\sin \theta = \frac{-1}{1} = -1$

$-\pi < \theta \leq \pi$の範囲内で$\theta = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$

(2) $2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4})$

(3) $2(\cos (-\frac{2\pi}{3}) + i \sin (-\frac{2\pi}{3}))$

(4) $1(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}))$

または、単に$(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}))$