(1) $ax^2+bx+c>0$ の解が $2<x<3$ であるとき、$b$ と $c$ を $a$ で表し、$ax^2+cx-b \le 0$ の解を求める。 (2) $(m-7)x^2+2mx-m+1>0$ を満たす実数 $x$ が存在しないような整数 $m$ を求め、そのときの $m \le x^2+2x \le m+1$ の解を求める。

1. 問題の内容

(1) $ax^2+bx+c>0$ の解が $2<x<3$ であるとき、$b$ と $c$ を $a$ で表し、$ax^2+cx-b \le 0$ の解を求める。

(2) $(m-7)x^2+2mx-m+1>0$ を満たす実数 $x$ が存在しないような整数 $m$ を求め、そのときの $m \le x^2+2x \le m+1$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$ax^2+bx+c>0$ の解が $2<x<3$ であるということは、$a<0$ であり、$ax^2+bx+c=0$ の解が $x=2, 3$ である。したがって、$ax^2+bx+c = a(x-2)(x-3) = a(x^2-5x+6) = ax^2-5ax+6a$。よって、$b=-5a$、$c=6a$。

次に、$ax^2+cx-b \le 0$ に $b=-5a$, $c=6a$ を代入すると、$ax^2+6ax+5a \le 0$。$a<0$ より、$x^2+6x+5 \ge 0$。

$(x+1)(x+5) \ge 0$。したがって、$x \le -5$ または $x \ge -1$。

$\alpha, \beta$ と比較すると $\alpha = -5$、$\beta = -1$。従って答えは③。

(2)

$(m-7)x^2+2mx-m+1>0$ を満たす実数 $x$ が存在しないということは、$(m-7)x^2+2mx-m+1 \le 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つということである。

まず、$m-7<0$。つまり、$m<7$。

次に、判別式を $D$ とすると、$D/4 = m^2-(m-7)(-m+1) = m^2-(-m^2+8m-7) = 2m^2-8m+7 \le 0$。

$2m^2-8m+7 = 0$ を解くと、$m = \frac{8 \pm \sqrt{64-56}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$2-\frac{\sqrt{2}}{2} \le m \le 2+\frac{\sqrt{2}}{2}$ である必要がある。$\sqrt{2} \approx 1.4$ なので、$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7$。

したがって、$1.3 \le m \le 2.7$。$m<7$ なので、$1.3 \le m \le 2.7$。これを満たす整数 $m$ は $m=2$。

次に、$2 \le x^2+2x \le 3$ を解く。

$x^2+2x \ge 2$ より、$x^2+2x-2 \ge 0$。解は $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$。従って、$x \le -1-\sqrt{3}$ または $x \ge -1+\sqrt{3}$。

$x^2+2x \le 3$ より、$x^2+2x-3 \le 0$。$(x+3)(x-1) \le 0$ より、$-3 \le x \le 1$。

よって、$x$ の範囲は、$-3 \le x \le -1-\sqrt{3}$ または $-1+\sqrt{3} \le x \le 1$。

3. 最終的な答え

[1] $b = -5a$, $c = 6a$, 解は③ $\alpha=-5, \beta=-1$

[2] $m = 2$, $-3 \le x \le -1-\sqrt{3}$, $-1+\sqrt{3} \le x \le 1$

コサ = -3, シス = -1, セ = 3, ソ = 1