4番の問題は、2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ と、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ に関する問題です。 (1) 2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ を解く。 (2) 関数 $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表し、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) 2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ を満たす $x$ の値の範囲で、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

4番の問題は、2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ と、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ に関する問題です。

(1) 2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ を解く。

(2) 関数 $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表し、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) 2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ を満たす $x$ の値の範囲で、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ を解きます。

$x^2 - 2x > 0$ は、$x(x - 2) > 0$ と変形できます。

したがって、$x < 0$ または $x > 2$ となります。

(2) 関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ の最小値を求めます。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 - 2a + 15$ と変形できます。

したがって、最小値は $-a^2 - 2a + 15$ です。

$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つことです。これは、$f(x)$ の最小値が負になることと同値です。

したがって、$-a^2 - 2a + 15 < 0$ を解きます。

$a^2 + 2a - 15 > 0$

$(a + 5)(a - 3) > 0$

$a < -5$ または $a > 3$

ただし、$a$ は正の定数であるため、$a > 3$ となります。

(3) (1) の結果 $x < 0$ または $x > 2$ の範囲で、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) の結果より、$a > 3$ であれば、$y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と異なる2点で交わります。したがって、$a>3$ が答えです。

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ または $x > 2$

(2) 最小値：$-a^2 - 2a + 15$, $a > 3$

(3) $a > 3$