問題4は、2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ （①とする）と2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ が与えられたとき、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) 2次不等式①を解く。 (2) 関数 $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表し、グラフCが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) 2次不等式①を満たす $x$ の値の範囲で、グラフCが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 問題5は、1から5までの数字が書かれた5枚のカードを横一列に並べるとき、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) 奇数と偶数のカードが交互に並ぶ並べ方は何通りか。 (2) 1と2のカードが隣り合う並べ方は何通りか。 (3) どの隣り合う2枚のカードも、カードに書かれた数の和が5以上になる並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題4は、2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ （①とする）と2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ が与えられたとき、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) 2次不等式①を解く。

(2) 関数 $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表し、グラフCが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) 2次不等式①を満たす $x$ の値の範囲で、グラフCが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

問題5は、1から5までの数字が書かれた5枚のカードを横一列に並べるとき、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) 奇数と偶数のカードが交互に並ぶ並べ方は何通りか。

(2) 1と2のカードが隣り合う並べ方は何通りか。

(3) どの隣り合う2枚のカードも、カードに書かれた数の和が5以上になる並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

**問題4**

(1) 2次不等式 $x^2 - 2x > 0$ を解きます。

$x(x - 2) > 0$ と因数分解できるので、$x < 0$ または $x > 2$ が解となります。

(2) 関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ の最小値を求めます。平方完成を行うと、

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 - 2a + 15$

したがって、最小値は $-a^2 - 2a + 15$ となります。

次に、グラフCが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件を求めます。これは、判別式 $D > 0$ であることと同値です。

$D/4 = a^2 - (-2a + 15) = a^2 + 2a - 15 > 0$

$(a + 5)(a - 3) > 0$

$a < -5$ または $a > 3$

$a$ は正の定数なので、$a > 3$ が条件となります。

(3) (1)より、$x < 0$ または $x > 2$ 。

(2)より、$a>0$ のとき、グラフが$x$軸と2点で交わるための条件は$a>3$。

$x < 0$ または $x > 2$ の範囲で、グラフCが $x$ 軸と異なる2点で交わる $a$ の範囲を求める必要があります。$f(x)=0$が $x < 0$ または $x > 2$ の範囲に少なくとも2つ解を持つとき、$f(0)<0$または$f(2)<0$の条件を満たす必要があります。

$f(0) = -2a+15$ であり $f(2) = 4-4a-2a+15=19-6a$です。

$f(0)<0$ とすると、$-2a+15<0$から、$a>15/2$

$f(2)<0$ とすると、$19-6a<0$から、$a>19/6$

$a>3$の条件と合わせて、$a>19/6$または$a>15/2$。したがって、$a > 19/6$ が条件となります。

$a > 15/2$ の時、$a > 3$かつ$a>19/6$の条件を満たすので、$a>15/2$。

**問題5**

(1) 奇数は1, 3, 5の3枚、偶数は2, 4の2枚です。

奇数と偶数が交互に並ぶためには、奇数が両端に来る必要があります。

奇数、偶数、奇数、偶数、奇数の順に並ぶ場合、奇数の並び方は3!通り、偶数の並び方は2!通りなので、全部で $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$ 通りです。

(2) 1と2のカードが隣り合う場合、1と2を一つの組として考えます。

この組と、3, 4, 5のカードの並び方を考えます。全部で4つの要素の並び方なので、4!通り。

1と2の並び方は12と21の2通りなので、 $4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$ 通りです。

(3) どの隣り合う2枚のカードも、カードに書かれた数の和が5以上になる並べ方を考えます。

これは、条件が厳しいため、可能な並べ方をすべて列挙します。

5と1を隣り合わせると和は6、5と2で7、5と3で8、5と4で9、4と1で5。

考えられるのは5, 4, 1, 3, 2を並び替えて条件を満たす並べ方を求めるしかない。

5,1,4,3,2 5,2,3,4,1

5と1,2の組み合わせはそれぞれ1通りしかない.

5が先頭にくる場合しかない。

（5,1,4,2,3）、（5,2,3,1,4）を試行錯誤で探す。

(1,5), (2,4), (3,5)などの組み合わせを避ければよい。

5と4のカードは絶対に隣り合わないといけないため、不可能。

答えは0。

3. 最終的な答え

**問題4**

(1) $x < 0$ または $x > 2$

(2) 最小値: $-a^2 - 2a + 15$ 、 $a > 3$

(3) $a > 15/2$

**問題5**

(1) 12通り

(2) 48通り

(3) 0通り