(1) $a, b$が有理数のとき、$a+b\sqrt{3}=0$ならば$a=b=0$であることを証明する。ただし、$\sqrt{3}$は無理数である。 (2) 等式 $(2+3\sqrt{3})x + (1-5\sqrt{3})y = 13$ を満たす有理数 $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $a, b$が有理数のとき、$a+b\sqrt{3}=0$ならば$a=b=0$であることを証明する。ただし、$\sqrt{3}$は無理数である。

(2) 等式 $(2+3\sqrt{3})x + (1-5\sqrt{3})y = 13$ を満たす有理数 $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a+b\sqrt{3} = 0$を仮定する。

もし、$b \neq 0$ならば、$\sqrt{3} = -\frac{a}{b}$となる。

ここで、$a$と$b$は有理数なので、$-\frac{a}{b}$も有理数である。

しかし、これは$\sqrt{3}$が無理数であることに矛盾する。

したがって、$b = 0$でなければならない。

$b = 0$を$a+b\sqrt{3} = 0$に代入すると、$a+0\cdot\sqrt{3} = a = 0$となる。

よって、$a=0$かつ$b=0$が成り立つ。

(2)

$(2+3\sqrt{3})x + (1-5\sqrt{3})y = 13$を展開すると、

$2x + 3\sqrt{3}x + y - 5\sqrt{3}y = 13$

$(2x+y) + (3x-5y)\sqrt{3} = 13$

$13 = 13 + 0\cdot\sqrt{3}$と書き換えられるので、

$(2x+y) + (3x-5y)\sqrt{3} = 13 + 0\cdot\sqrt{3}$

ここで、$x$と$y$は有理数なので、$2x+y$と$3x-5y$も有理数である。

したがって、(1)の結果から次の連立方程式が得られる。

$2x+y = 13$

$3x-5y = 0$

この連立方程式を解く。

一つ目の式より、$y = 13 - 2x$

これを二つ目の式に代入すると、

$3x - 5(13-2x) = 0$

$3x - 65 + 10x = 0$

$13x = 65$

$x = 5$

$y = 13 - 2x = 13 - 2(5) = 13 - 10 = 3$

したがって、$x = 5, y = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a=b=0$であることを証明終わり。

(2) $x = 5, y = 3$