正の数 $a, b, c$ に対して、不等式 $(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \ge 64$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

正の数 $a, b, c$ に対して、不等式 $(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \ge 64$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用する。

$a + \frac{4}{b} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{b}} = 2\sqrt{\frac{4a}{b}} = 4\sqrt{\frac{a}{b}}$

$b + \frac{4}{c} \ge 2\sqrt{b \cdot \frac{4}{c}} = 2\sqrt{\frac{4b}{c}} = 4\sqrt{\frac{b}{c}}$

$c + \frac{4}{a} \ge 2\sqrt{c \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{\frac{4c}{a}} = 4\sqrt{\frac{c}{a}}$

上記の3つの不等式を掛け合わせると、

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \ge 4\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot 4\sqrt{\frac{b}{c}} \cdot 4\sqrt{\frac{c}{a}}$

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \ge 64\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 64\sqrt{1} = 64$

したがって、$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \ge 64$が成り立つ。

等号が成り立つのは、

$a = \frac{4}{b}$, $b = \frac{4}{c}$, $c = \frac{4}{a}$ が同時に成り立つときである。

これらより、$ab = 4$, $bc = 4$, $ca = 4$

$a = \frac{4}{b}$ を $ac = 4$ に代入すると、$\frac{4}{b}c = 4$ より $c = b$

$c = b$ を $bc = 4$ に代入すると、$b^2 = 4$. $b > 0$より $b = 2$

$b = 2$ より $a = \frac{4}{2} = 2$

$c = b = 2$

したがって、$a = b = c = 2$ のとき等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \ge 64$

等号が成り立つのは $a = b = c = 2$ のとき。