整数 $n$ に対して、$n(n+1)(2n+1)$ が6の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、$n(n+1)(2n+1)$ が6の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$n(n+1)(2n+1)$が2の倍数かつ3の倍数であることを示す。

$n(n+1)$ は連続する2つの整数の積であるから、必ず偶数である。したがって、$n(n+1)$ は2の倍数である。よって、$n(n+1)(2n+1)$ も2の倍数である。

次に、$n(n+1)(2n+1)$ が3の倍数であることを示す。

$n$ を3で割ったときの余りで場合分けをする。

(i) $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、すなわち $n$ が3の倍数のとき、$n(n+1)(2n+1)$ は3の倍数である。

(ii) $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$2n+1 \equiv 2(1) + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$ より、$2n+1$ は3の倍数である。したがって、$n(n+1)(2n+1)$ は3の倍数である。

(iii) $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$n+1 \equiv 2+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$ より、$n+1$ は3の倍数である。したがって、$n(n+1)(2n+1)$ は3の倍数である。

以上より、いずれの場合も $n(n+1)(2n+1)$ は3の倍数である。

$n(n+1)(2n+1)$ は2の倍数であり、かつ3の倍数であるから、6の倍数である。

3. 最終的な答え

$n(n+1)(2n+1)$ は6の倍数である。